Me dieron una forma,$\xi^b$. Entonces, me dan una relación para una forma de dos,$\omega^{ab}$, que dice que
ps
¿Cómo calculo$$ \xi^b = \nabla_a \omega^{ab}$ dada esta relación?
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No se puede "calcular" $\omega$ en términos de $\xi$. Este es un subdeterminado ecuación diferencial parcial, y a veces se tiene una solución y a veces no; cuando se tiene una solución, que a menudo tiene un infinito espacio tridimensional de ellos.
La ecuación puede ser escrita invariantly como $\delta\omega = \xi$ donde $\delta$ es el codifferential. Desde $\delta\circ\delta = 0$, una condición necesaria para la existencia de una solución, incluso a nivel local, es $\delta\xi = 0$.
Si $\xi$ satisface esta compatibilidad condición, entonces no va a ser la solución, al menos localmente, en una vecindad de cada punto. Pero si $\omega_0$ es ninguna solución en absoluto, a continuación, $\omega_0 + \eta$ es también una solución, siempre que $\eta$ cualquier $2$-forma satisfactoria $\delta\eta=0$. Por ejemplo, en dimensiones mayores de $2$, usted puede tomar $\alpha$ cualquier $3$-formar a todos, y tome $\eta = \delta\alpha$. Esto le da un infinito-dimensional en el espacio de soluciones a su problema. (En la dimensión $2$, las únicas posibilidades para $\eta$ son localmente constante múltiplos de la de Riemann forma de volumen.)
Si sólo estás interesado en la búsqueda de soluciones locales, a continuación, $\delta\xi=0$ es el único obstáculo para la existencia de soluciones.
Teorema. Supongamos $\xi$ es un buen $1$-forma en una de Riemann colector de satisfacer $\delta\xi=0$. A continuación, en una vecindad de cada punto, no es un buen $2$forma $\omega$ tal que $\delta\omega=-\xi$.
Prueba: La ecuación que queremos resolver puede ser escrito en términos de la estrella de Hodge operador $$ (-1)^{n+1} * d * \omega = - \xi\etiqueta{1} $$ donde $n$ es la dimensión del colector. Desde $d*\omega$$(n-1)$, $\ast\ast(d\ast\omega) = (-1)^{n+1}d\ast\omega$, lo $(1)$ es equivalente a $$ d(*\omega) = -*\xi. \etiqueta{2} $$ La suposición $\delta\xi=0$ implica que el $*\xi$ es cerrado, por lo $(2)$ tiene una solución en una vecindad de cada punto por el Poincaré lema. $\square$
La mayoría de las pruebas de la Poincaré lema dar algún tipo de fórmula explícita que usted puede utilizar para construir una solución local, al menos en las dimensiones bajas.
Si desea una solución global, la teoría es más satisfactoria en un compacto liso colector (sin límite). En ese caso, uno puede probar el siguiente.
Teorema. Supongamos $(M,g)$ es un buen compacto de Riemann colector y $\xi$ es un buen $1$-forma en $M$. Entonces existe un suave $2$forma $\omega$ satisfacción $\delta\omega=-\xi$ si y sólo si $\delta\xi=0$ $\int_M \langle \xi,\beta\rangle\,dV_g = 0$ por cada armónico $1$forma $\beta$.
No tengo una referencia práctica para la prueba, pero es bastante estándar, un aplicación de la Hodge teorema de de Rham cohomology.
icc97
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Puedes calcularlo en términos de los símbolos de Christoffel$$\nabla_a \omega^{ab} = \delta_{c}^a \nabla_a \omega^{cb} = \delta_{c}^a (\partial_a\omega^{cb} + \Gamma_{da}^{c} \omega^{db}+\Gamma_{ad}^{b} \omega^{cd}) = \partial_a\omega^{ab} + \Gamma_{da}^{a} \omega^{db}+\Gamma_{ad}^{b} \omega^{ad},$ $
desde$$\nabla_a \omega^{cb}=\partial_a\omega^{cb} + \Gamma_{da}^{c} \omega^{db}+\Gamma_{ad}^{b} \omega^{cd}.$ $
Si crees que la conexión es Levi-Civita, entonces puedes simplificarla más.
Observe$\Gamma_{ad}^{b} \omega^{ad} = 0$ porque$$\sum_{a,d}\Gamma_{ad}^{b} \omega^{ad} = \sum_{a<d}\Gamma_{ad}^{b} \omega^{ad}+ \sum_{a>d}\Gamma_{ad}^{b} \omega^{ad} = \sum_{a<d}\Gamma_{ad}^{b} \omega^{ad} + \sum_{d>a}\Gamma_{da}^{b} \omega^{da} =0,$ $ ya que$\omega^{ab}$ es un tensor antisimétrico.
Entonces tenemos $\nabla_a \omega^{ab} = \partial_a\omega^{ab} + \Gamma_{da}^{a} \omega^{db}$.
También puede escribir$\nabla_a \omega^{ab}$ en términos de la métrica usando la siguiente fórmula$$\Gamma_{ab}^c = \frac{g^{cl}}{2}(\partial_a g_{lb} + \partial_b g_{la} - \partial_{l}g_{ab}).$ $
