Solicitud de referencia: transformaciones en las que el discriminante es invariante

Question

Tuve la ocasión de pensar en esta ecuación de segundo grado: ax $$ ^ 2 +bx(1-x) + c (1-x) ^ 2 = 0. $$ Su solución es $$ x = \frac{2c-b\pm\sqrt{b^2-4ac\,}}{2(a-b+c)}. $$ La cosa bajo el radical es lo mismo que nos enseñaron en el octavo o noveno grado. El % de asignación $(a,b,c)\mapsto (a-b+c, b-2c, c)$no cambia. ¿Es una instancia de la conclusión de un resultado conocido?

Answer 1

Que $P(x)=ax^2+bx(1-x)+c(1-x)^2$. Entonces

\begin{align} P(x)&=ax^2+bx(1-x)+c(1-x)^2\ &=x^2\big [a+b(\frac{1}{x}-1)+c(\frac{1}{x}-1)^2\big ] \end {Alinee el}

Por lo tanto, se obtiene $P(x)$ $a+bx+cx^2$ por una transformación proyectiva. También,

\begin{align} a+bx+cx^2 &= x^2\big [a\frac{1}{x^2}+b\frac{1}{x}+c\big ]\ \end {Alinee el}

y así puede obtenerse $a+bx+cx^2$ $Q(x)=ax^2+bx+c$ por una transformación proyectiva. Es bien sabido que el discriminante es invariante bajo las transformaciones proyectivas y así tenemos el discriminante de $P(x)$ es igual al discriminante de $Q(x)$.

Answer 2

Yo no veo nada especial aquí. Supongamos que:

$$(a,b,c)\mapsto (a+x b+yc, b+zc, c)$$

Condición:

$$(b+zc)^2-4(a+xb+yc)c=b^2-4ac$$

conduce a:

$$x=\frac z2,\quad y=\frac{z^2}{4}$$

Usted puede fácil construir una infinidad de "agradable" asignaciones, solo tienes que elegir incluso valor entero para $z$:

$$(a,b,c)\mapsto (a+3b+9c, b+6c, c)$$

$$(a,b,c)\mapsto (a-4b+16c, b-8c, c)$$

Los radicales también es simétrica con respecto al $a,c$ así que usted puede intercambiar sus roles y construir otros ejemplos, como:

$$(a,b,c)\mapsto (a, b-8a, c-4b+16a)$$

Más lineal general asignaciones son también posibles, pero no me resulta de mucho valor en la investigación.