¿Existe una fórmula para calcular la suma de todos los productos de$p$ enteros diferentes$\le n$?

Question

Por ejemplo:

$n=3, p=2$ a la suma que estoy buscando es: $1.2+1.3+2.3$.

Por supuesto, esto puede ser fácilmente calculada en un equipo. Pero tener una fórmula que me permita utilizar en la derivación de otras fórmulas. Hasta ahora no he encontrado nada en internet.

He encontrado este bonito fórmula para la suma de todos los productos de arbitrario muchos distintos números enteros :

$1+2+3+1.2+1.3+2.3+1.2.3=4!-1=(n+1)!-1$ .

Pero me gustaría ser capaz de separar esto en las partes mencionadas anteriormente. Espero que alguien pueda me apunte en la dirección correcta. Gracias de antemano!

Answer 1

Una fórmula recursiva es bastante fácil, ya que tienes

$$f(n,1) = \frac{n(n+1)}{2}$ $$$f(n,n) = n!$ $$$f(n,p) = nf(n-1,p-1)+f(n-1,p)$ $

Si comienza con$f(0,0)=1$ y$f(0,p)=0$ para$p \not = 0$, puede reducir esto a solo$f(n,p) = nf(n-1,p-1)+f(n-1,p)$; nota que luego obtienes$f(n,0)=1$

Estos son números de Stirling esencialmente sin signo del primer tipo y tienes$f(n,p)=\left[{n+1 \atop n-p}\right]$