Probar$\min \left(a+b+\frac1a+\frac1b \right) = 3\sqrt{2}\:$ given$a^2+b^2=1$

Question

Demuestre que $$\min\left(a+b+\frac1a+\frac1b\right) = 3\sqrt{2}$ $ Given$$ a^2+b^2=1 \quad(a,b \in \mathbb R^+) Sin usar cálculo.
$\mathbf {My Attempt}$
Probé el AM-GM, pero esto da$\min = 4$.

Usé Cauchy-Schwarz para obtener$\quad (a+b)^2 \le 2(a^2+b^2) = 2\quad \Rightarrow\quad a+b\le \sqrt{2}$
Pero usando el Lema de Titu obtengo$\quad \frac1a+\frac1b \ge \frac{4}{a+b}\quad \Rightarrow\quad \frac1a+\frac1b \ge 2\sqrt{2}$
Estoy atrapado aquí, ¿alguna pista?

Answer 1

Aviso $$\begin{align} a + b + \frac1a + \frac1b = &\; \left(a + \frac{1}{2a} + \frac{1}{2a}\right) + \left(b + \frac{1}{2b} + \frac{1}{2b}\right)\\ \\ \color{blue}{\rm AM \ge \rm GM \rightarrow\quad} \ge &\; 3\left[\left(\frac{1}{4a}\right)^{1/3} + \left(\frac{1}{4b}\right)^{1/3}\right]\\ \color{blue}{\rm AM \ge \rm GM \rightarrow\quad} \ge &\; 6 \left(\frac{1}{16ab}\right)^{1/6}\\ \color{blue}{a^2 + b^2 \ge 2 ab \rightarrow\quad} \ge &\; 6 \left(\frac{1}{8(a^2+b^2)}\right)^{1/6}\\ = &\; 6 \left(\frac18\right)^{1/6} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \end{align}$$ Dado que el valor de $3\sqrt{2}$ se consigue en $a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}$, tenemos

$$\min \left\{ a + b + \frac1a + \frac1b : a, b > 0, a^2+b^2 = 1 \right\} = 3\sqrt{2}$$

Notas

Acerca de la pregunta ¿cómo puedo llegar con este. Yo, básicamente, saber el mínimo es de logrado en $a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Desde el enlazado $3\sqrt{2}$ sobre RHS es óptima, si queremos probar la desigualdad, tenemos que usar algo que es ajustada al $a = b$. Si queremos usar AM $\ge$ GM, tenemos que colocar las piezas de manera que todos los términos son iguales. Por eso me separé $\frac1a$ a $\frac{1}{2a} + \frac{1}{2a}$ $\frac1b$ a $\frac{1}{2b} + \frac{1}{2b}$ y ver qué pasa. Simplemente resulta que funciona.

Answer 2

Mi respuesta es una pequeña rotonda, pero sin cálculo y sin fotos o simetría:

Aritmético-geométrica de la desigualdad: $$a+b \geq 2\sqrt{ab}$$ Armónico-geométrica de la desigualdad y algunos cambios: $$\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$ $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}$$ Añadir tanto los resultados a obtener $$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq2\left(\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)~~~~~~~~~~(1)$$ También tenga en cuenta que en la restricción de $$0\leq(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab = 1 - 2ab$$ y por lo tanto $$\sqrt{ab} \leq \frac{1}{2}\sqrt{2}$$ Ahora vamos a $x:=\sqrt{ab}$.

Por lo $0\leq x \leq \frac{1}{2}\sqrt{2} < 1$

Para terminar, todos los que tenemos que mostrar es que el lado derecho de la $2(x+\frac{1}{x})$ de la desigualdad $(1)$ es mínimo si $x$ es máxima y, por tanto, $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ porque entonces $$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq2\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}+\sqrt{2}\right) = 3 \sqrt{2}$$ siempre es verdadera.

Para mostrar que, vamos a mostrar que la función de $f:x\mapsto x+\frac{1}{x}$ es decreciente en el intervalo de $(0,1)$. Que fácil con el cálculo. Sin:

Vamos a elegir a $h,x$ arbitrariamente tal que $0<h<1$$0<x<x+h<1$.

Luego trasladan de forma equivalente, o al revés-implicatively para llegar a nuestra monotonía reivindicación de una verdadera declaración de

$$x+h+\frac{1}{x+h} < x+\frac{1}{x}$$ $$h+\frac{1}{x+h} < \frac{1}{x}$$ Multiplicar a través de $$hx(x+h) + x < x + h$$ Y desde $h+x < 1$: $$\Leftarrow hx + x \leq x +h$$ Ya que también se $x<1$: $$\Leftarrow h + x \leq h+x$$ lo cual es cierto. Desde $x,h$ fueron arbitrarias de $(0,1)$, esto demuestra la monotonía y, por tanto, la reclamación.

Answer 3

Vamos a cuadrar toda la desigualdad $$\frac{(a+b)^2}{(ab)^2}+(a+b)^2+2\frac{(a+b)^2}{ab}\geq 18$ $ simplificando y usando eso$$ a^2+b^2=1 obtenemos

$$2(ab)^3-13(ab)^2+4ab+1\geq0$ $ esto es equivalente a$$ (2ab-1)((ab)^2-6ab-1)\geq 0

Ahora tenemos $$a^2+b^2\geq 2ab$$ this is $$ab\le \frac{1}{2}

por lo que ambos factores$$2ab-1,(ab)^2-6ab-1 no son positivos, por lo que su producto no es negativo.

Answer 4

Sin Cálculo:

Multiplicando ambos lados de $a+b+\dfrac 1a + \dfrac 1b \ge 3 \sqrt 2$ $ab$ tenemos

$$a^2b+b^2a+a+b \ge 3 \sqrt2 ab$$

que factores como

$$(a+b)(ab+1) \ge 3 \sqrt2 ab$$

el cuadrado ambos lados de los rendimientos

$$(a+b)^2(ab+1)^2 \ge 18(ab)^2$$

Pero $(a+b)^2 = 1+2ab$, y la sustitución de $x = ab$

$$(1+2x)(x+1)^2\ge18x^2$$

Además, conocemos $x \in\left [0, \dfrac 12 \right ]$ porque $a^2+b^2 \ge 2ab$, lo $\dfrac 12 \ge ab$.

Así es mostrar que $f(x) = (1+2x)(x+1)^2 - 18x^2 \ge 0$$\left[0, \dfrac 12 \right]$. Pero la expansión de $f(x)$ y el uso racional de la raíz teorema podemos factor como $f(x) = 2(x-1/2)(x^2-6x-1)$. Ahora $(x- 1/2)$ no es positiva en el intervalo, y usted puede encontrar las raíces de $x^2-6x-1$ usando la fórmula cuadrática para mostrar que es negativa en el intervalo.

Hecho!

Answer 5

Este es un resumen de los argumentos y comentarios de arriba:

$a^2 + b^2 = 1$ e la simetría argumento de que $a = b$ muestra que $a = b = {1 \over \sqrt{2}}$, y por lo tanto $a + b + 1/a + 1/b = 3 \sqrt{2}$.

Cálculo confirma:

$$f(a) = a + 1/a + \sqrt{1 - a^2} + {1 \over \sqrt{1 - a^2}}$$

así

$${df(a) \over da} = -\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}+\frac{a}{\left(1-a^2\right)^{3/2}}-\frac{1}{a^2}+1$$

Establecer esta igual a cero y resolver para $a$ encontrar $a = {1 \over \sqrt{2}}$ y el resto de la siguiente manera.

Aquí está una parcela de $f(a)$:

De hecho, el mínimo se produce en $a = {1 \over \sqrt{2}}$ y tiene un valor de $f(a = 1/\sqrt{2}) = 3 \sqrt{2}$.