Probar que el conjunto de todas las funciones monótonas en $[0,1]$ tiene la misma cardinalidad que $ \mathbb R$

Question

Tengo dificultades para responder a la siguiente pregunta sobre "Notas sobre la teoría del juego" de Moschovakis, 1ª edición:

Demuestra que el conjunto $K$ de todas las funciones reales monótonas en el intervalo cerrado $[0,1]$ tienen la misma cardinalidad con $ \mathbb R$ .

Podemos inyectar $ \mathbb R$ en $K$ enviando cualquier número real a su función constante, por ejemplo. $5/2$ se mapea a la función constante $5/2$ en $[0,1]$ . Según el teorema de Schroder-Berstein, basta con proporcionar una inyección de $K$ a $ \mathbb R$ . Como el conjunto de funciones constantes en $K$ tienen la cardinalidad de $ \mathbb R$ La función estrictamente decreciente de la $K$ (con lo que quiero decir que tal función $f$ tiene algunos $a > b$ St. $f(a) <f(b)$ es decir. $f$ no tiene por qué ser estrictamente decreciente en todo el intervalo) está en correspondencia bijectiva con la función estrictamente creciente en $K$ y $| \mathbb R^3| = | \mathbb R|$ basta con mostrar que el conjunto de la función estrictamente creciente en $K$ inyecta a $ \mathbb R$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo puedo proporcionar tal inyección.

Answer 1

El conjunto de discontinuidades de una función creciente es como máximo contable .

Por lo tanto, $f \in K$ está completamente descrito por su conjunto de discontinuidades $D$ y sus valores en $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ .

De hecho, si $f$ es continua en $x$ entonces $f(x) = \lim_{n\to\infty} f(q_n)$ donde $(q_n)_n$ es una secuencia de racionales que convergen a $x$ . Si $f$ es discontinuo en $x$ , entonces el valor $f(x)$ ya está dada.

Por lo tanto, tenemos una biyección de $K$ con

$$\{(D, (x_n)_n) : D \subseteq [0,1]\text{ at most countable}, x_n \in [0,1], \forall n\in\mathbb{N}\}$$

así que $$|K| = c^{\aleph_0} \cdot c^{\aleph_0} = c$$