Calcular $\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\pi k^2}\left(\pi k^2-\frac{1}{4}\right)$

Question

¿Cómo puedo evaluar la siguiente serie? $$\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\pi k^2}\left(\pi k^2-\frac{1}{4}\right)$$ Voy a llegar a una solución mediante la utilización de alta el conocimiento de la escuela.
Gracias de antemano por sus consejos, sugerencias!

Answer 1

Yo no sé acerca de la escuela secundaria de matemáticas, pero no hay una respuesta utilizando Mellin transforma. Primer lugar, calcular la transformada de Mellin de la suma, entonces invertir para obtener una forma cerrada de la expresión. Introducir $$f(x) = \sum_{k\ge 1} e^{- k^2 x} \left(\pi k^2 - \frac{1}{4} \right),$$ así que estamos buscando a $f(\pi).$

Tenemos de forma directa (utilizando la definición de la Mellin de transformación) que el Mellin transformar $f^*(s)$ $f(x)$ está dado por $$f^*(s) = \mathfrak{M}\left(f(x); s\right) = \Gamma(s) \sum_{k\ge 1} \left(\frac{\pi}{k^{2(s-1)}} - \frac{1}{4} \frac{1}{k^{2}} \right) = \Gamma(s) \left(\pi \zeta(2(s-1)) - \frac{1}{4} \zeta(2s) \right).$$ Ahora el Mellin de inversión integral (que vamos a evaluar en $x=\pi$) es $$\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} f^*(s) x^{-s} ds = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) \left(\pi \zeta(2(s-1)) - \frac{1}{4} \zeta(2s) \right) x^{-s} ds.$$ Ahora la única singularidad de la primera zeta término es en $s=3/2$, con residuo $$\operatorname{Res}\left(\Gamma(s) \pi \zeta(2(s-1)) x^{s}; s=3/2\right) = 1/2\,{\frac {\Gamma \left( 3/2 \right) \pi }{{x}^{3/2}}}.$$ La única singularidad de la segunda zeta término es en $s=1/2$, con residuo $$\operatorname{Res}\left(\Gamma(s) \frac{1}{4} \zeta(2s) x^{s}; s=1/2\right) = 1/8\,{\frac {\Gamma \left( 1/2 \right) }{\sqrt {x}}}.$$ De ello se sigue que $$f(x) = 1/2\,{\frac {\Gamma \left( 3/2 \right) \pi }{{x}^{3/2}}} - 1/8\,{\frac {\Gamma \left( 1/2 \right) }{\sqrt {x}}}.$$ Por último set $x=\pi$ para obtener $$\frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(1/2\Gamma(3/2)-1/8\Gamma(1/2)\right) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(1/4\Gamma(1/2)-1/8\Gamma(1/2)\right) = \frac{1}{8} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma(1/2) = \frac{1}{8}.$$ La razón por la que sólo hay un polo en cada caso es porque el trivial de los ceros de la función zeta cancelar los polos de la función gamma.