Vamos a grabar (al menos una de las posibles soluciones en la tabla.
En la columna adicional que nos marcará que la extensión se utilizó: $\hat{}$ o $\sqrt{\phantom{w}}$ o $!$ (además de los mencionados clásicos $+\;-\;\times \;/$ versión).
\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
number & formula & extension \\
\hline
1 & 4-4+4/4 & \\
2 & (4\cdot 4) /(4+4) & \\
3 & (4+4+4) / 4 & \\
4 & 4 + (4-4)*4 & \\
5 & (4 + 4\cdot 4)/4 & \\
6 & 4 + (4+4)/4 & \\
7 & 4+4 - 4/4 & \\
8 & 4+4+4-4 & \\
9 & 4+4 + 4/4 & \\
10 & 4 + 4+ 4/\sqrt{4} & \sqrt{\phantom{w}} \\
11 & (4!+4!-4) /4 & ! \\
12 & 4\cdot(4 - 4/4) & \\
13 & (4!+4!+4) / 4 & ! \\
14 & 4\cdot 4 - 4/\sqrt{4} & \sqrt{\phantom{w}} \\
15 & 4\cdot 4 - 4/4 & \\
16 & 4+4+4+4 & \\
17 & 4\cdot 4 + 4/4 & \\
18 & 4\cdot 4 + 4/\sqrt{4} & \sqrt{\phantom{w}} \\
19 & 4! - 4 - 4/4 & ! \\
20 & 4\cdot(4 + 4/4) & \\
21 & 4! - 4 + 4/4 & ! \\
22 & 4\cdot 4 + 4 + \sqrt{4} & \sqrt{\phantom{w}} \\
23 & (4\cdot 4! - 4)/4 & ! \\
24 & 4+4 + 4\cdot 4 & \\
25 & 4! + 4\cdot(4-4)! & ! \\
26 & 4! - 4 + 4!/4 & ! \\
27 & 4! + 4!/(4+4) & ! \\
28 & 4\cdot(4+4) - 4 & \\
29 & 4! + 4 + 4/4 & ! \\
30 & 4(4+4) - \sqrt{4} & \sqrt{\phantom{w}} \\
31 & ((4!/4)! +4!)/4! & ! \\
32 & 4\cdot 4 + 4\cdot 4 & \\
33 & \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{4^{4!}}}}+\sqrt{4}\right) / \sqrt{4} & \hat{},!,\sqrt{\phantom{w}} \\
34 & 4(4+4) + \sqrt{2} & \sqrt{\phantom{w}} \\
35 & 4! + (4!-\sqrt{4})/\sqrt{4} & !,\sqrt{\phantom{w}} \\
36 & 4\cdot(4+4) + 4 & \\
37 & 4! + (4!+\sqrt{4})/\sqrt{4} & !,\sqrt{\phantom{w}} \\
38 & 4! - \sqrt{4} + 4\cdot 4 & !, \sqrt{\phantom{w}} \\
39 & ????????????????????? & \\
40 & 4 (4+4+\sqrt{4}) & \sqrt{\phantom{w}} \\
41 & \sqrt{(4!+(4+4)!)/4!} & !,\sqrt{\phantom{w}} \\
42 & 4! + 4! - 4!/4 & ! \\
43 & ????????????????????? & \\
44 & 4! + 4 + 4\cdot 4 & ! \\
45 & (4!/4)!/ (4\cdot 4) & ! \\
46 & 4!+4!-4/\sqrt{4} & !,\sqrt{\phantom{w}} \\
47 & 4!+4! - 4/4 & ! \\
48 & 4 \cdot (4+4+4) & \\
49 & 4!+4! + 4/4 & ! \\
50 & 4!+4!+4/\sqrt{4} & !,\sqrt{\phantom{w}}
\end{array}
A saber qué (real) de los números de admitir $4$ $4$'s fórmula,
uno puede utilizar este sencillo algoritmo:
construir set $A_1$ de los números, que puede ser obtenido a partir de una $4$.
Desde $\sqrt{\phantom{w}}$ $!$ son permitidos (unario "operaciones"), el conjunto $A_1$ no es finito.
Nos detendremos en algunos razonable de paso.
Decir, dejar que el conjunto de $A_1$ es
$$
A_1 = \{ 4, 4!, \sqrt{4}=2, \sqrt{4!}, \sqrt{\sqrt{4}}, \sqrt{\sqrt{4!}}, \sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}}, \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}}} \}.
$$
A continuación, se construye set $A_2$: conjunto de números que pueden ser obtenidos a partir de dos $4$'s:
para cualquier $a\in A_1$, para cualquier $b\in A_1$ agregar a $A_2$ siguientes números:
- $a+b$,
- $|a-b|$,
- $a\cdot b$,
- $a/b$ (si $b\ne 0$),
- $b/a$ (si $a\ne 0$),
- $a^b$ (si $a\ne 0$),
- $b^a$ (si $b\ne 0$).
A continuación, actualizar el conjunto $A_2$ con factoriales (de su antiguo pequeños elementos de entero) y las raíces cuadradas de sus elementos antiguos.
Podemos repetir esta actualización par de veces.
Y claro el conjunto de $A_2$ de los duplicados.
El conjunto $A_3$ es derivado de esta manera a partir de $A_1$$A_2$.
El conjunto $A_4$ (conjunto final!) ha $2$ partes:
a) parte $1$ - a partir de $A_2$$A_2$;
b) parte $2$ - a partir de $A_1$$A_3$.
Existe una pequeña posibilidad de que cuando se extienden $A_1$ con más raíces/factoriales ( $A_2,A_3,A_4$ ), podemos describir más números en el rango de $1,\ldots, 100$; pero las probabilidades son muy pequeñas ya que repite las raíces tienden a $1$, que se repite factoriales tienden a $\infty$.
