Integral difícil que implica$\arctan x$

Question

Pregunta: Mostrar que$$\int\limits_0^{\infty}\mathrm dx\,\frac {\arctan x\log(1+x^2)}{x(1+x^2)}=\frac {\pi}2\log^22.$$

No sé si estoy siendo un idiota, o si esto es mucho más difícil de lo que parece. En primer lugar, traté de integración por partes con el hecho de que $$\frac 1{x(1+x^2)}=\frac 1x-\frac x{1+x^2}.$$

Pero rápidamente me di por vencido, ya que no estaba seguro de qué hacer con el resultado. Entonces me decidí a hacer la sustitución $t=\arctan x$ a deshacerse de la $1+x^2$ término en el denominador. Por lo tanto,$$\begin{align*}\mathfrak{I} & =\int\limits_0^{\pi/2}\mathrm dt\,t\cot t\log\sec^2t=-2\int\limits_0^{\pi/2}\mathrm dt\, t\cot t \log\cos t.\end{align*}$$

Sin embargo, no estoy exactamente seguro de qué hacer después de esto. Debo usar integración por partes? La diferenciación bajo el signo integral? Estoy teniendo problemas para empezar con esta integral. Alguna idea?

Answer 1

Podemos utilizar la diferenciación bajo el signo integral y un truco para evaluar esto. Definir primero $$ I(a,b) = \int_0^{\infty} \frac{\arctan{ax}}{x} \frac{\log{(1+b^2 x^2)}}{1+x^2} \, dx , $$ por lo $I(a,0)=I(0,b)=0$ $I(1,1)$ es lo que queremos. La diferenciación con respecto a $a$ y una vez wrt $b$ da $$ \partial_a\partial_b I = \int_0^{\infty} \frac{2bx^2 \, dx}{(1+x^2)(1+a^2x^2)(1+b^2x^2)}, $$ que se puede hacer mediante el uso de fracciones parciales y el arcotangente integral de un par de veces. Cuando el polvo se asienta, $$ \partial_a\partial_b I = \frac{b\pi}{(1+a)(1+b)(a+b)}, $$ y así $$ I(1,1) = \int_0^1 \int_0^1 \frac{b\pi}{(1+a)(1+b)(a+b)} \, da \, db $$ Pero podemos intercambiar $a$ $b$ y obtendrá el mismo resultado de esta integral por la simetría de la región de integración, por lo que también tiene $$ I(1,1) = \int_0^1 \int_0^1 \frac{a\pi}{(1+a)(1+b)(a+b)} \, da \, db. $$ La adición de da $$ I(1,1) = \frac{\pi}{2}\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{(1+a)(1+b)} \, da \, db, $$ pero este se divide en un producto de dos copias de $\int_0^1 dy/(1+y) = \log{2}$, por lo que $$ I(1,1) = \frac{\pi}{2}(\log{2})^2 $$ como se desee.

Answer 2

Definir %#% $ $$ f(a,b) = \int \limits_0^\infty \frac{\arctan(a x) \ln (1+ b^2 x^2)}{x (1+x^2)} \, \mathrm{d} x $ #%. $0 \leq a , b \leq 1$ Y $f(1,1) = \mathfrak{I}$. $f(0,b) = f(a,0) = 0 $ Podemos diferenciar bajo el signo integral para encontrar % $ $0

Answer 3

Aviso:

$$ \Im(\log^2(1+ix))=\Im\left(\left(\frac{1}{2}\log(1+x^2)+i\arctan(x)\right)^2\right)=\frac{1}{2}\log(1+x^2)\arctan(x) $$

La integral en cuestión es por lo tanto (uso de paridad) $$ I=\Im\int_{\mathbb{R}}\underbrace{\frac{\log^2(1+ix)}{x(1+x^2)}}_{f(x)} $$

Integrar alrededor de un gran semicírculo en la parte inferior halfplane (para evitar la branchcut) los rendimientos

$$ I=\Im \left(2\pi i\text{Res}(f(z),z=-i)\right)=\frac{\pi}{2}\log^2(2)$$

donde el residuo es fácil de calcular ya que el polo es simple.

El vansihing de la contrbutions en el infinito se deduce del hecho de que $R|f(Re^{i\phi})|\sim \log^2(R)/R^2$ en el sector de la $\mathbb{C}$ nos interesa.