¿Este patrón continúa$\lfloor\sqrt{44}\rfloor=6, \lfloor\sqrt{4444}\rfloor=66,\dots$?

Question

Al observar lo siguiente, tengo la sensación de que el patrón continúa.

$$\lfloor \sqrt{44} \rfloor=6$ $$$\lfloor \sqrt{4444} \rfloor=66$ $$$\lfloor \sqrt{444444} \rfloor=666$ $$$\lfloor \sqrt{44444444} \rfloor=6666$ $

Pero no puedo probarlo. Su ayuda será apreciada.

Answer 1

Insinuación :

Tenemos$$\left(\frac{6\cdot (10^n-1)}{9}\right)^2=\frac{4\cdot (10^{2n}-1)}{9}-\frac{8\cdot (10^n-1)}{9}$ $

Intenta descubrir por qué esto prueba que el patrón continúa para siempre.

Answer 2

Esto puede demostrarse un poco más simple.

El término general se puede escribir como$4 \frac{10^{2n} - 1}{9}$. Tomar raíz cuadrada te dará$\frac{2}{3} \sqrt{10^{2n} - 1}$. Como$\frac{2}{3} \approx 0.66666666666$ y$\sqrt{10^{2n} - 1} \approx \sqrt{10^{2n}} = 10^n$, esto explica por qué el resultado es$6;66;666;...$ etc. Para demostrar rigurosamente, observe que:$66...66 = \frac{2}{3} 10^n - \frac{2}{3} < \frac{2}{3} \sqrt{10^{2n} - 1} < \frac{2}{3} 10^n = 66...66.67$.

Answer 3

Como una alternativa un tanto inferior al enfoque algebraico de Peter, podrías calcular una raíz cuadrada en estilo de división larga como se muestra aquí:

\begin{array}{r} 6 \; \phantom{0}6 \;\phantom{0}6 \;\phantom{0}6 \\[-3pt] \sqrt{44 \; 44 \; 44 \; 44} \\[-3pt] \underline{36}\; \phantom{66 \; 00 \; 00} \\[-3pt] 12\underline6|\phantom{0}8 \; 44 \phantom{\; 00 \; 00}\\[-3pt] \underline{7 \; 56} \phantom{\; 00 \; 00}\\[-3pt] 132\underline{6} |\phantom{0} \; 88 \; 44 \phantom{\; 00}\\[-3pt] \underline{79 \; 56} \phantom{\; 00}\\[-3pt] 1332\underline{6} | \phantom{0}8 \; 88 \;44\\[-3pt] \underline{7 \; 99 \; 56} \end{formación}

Desde aquí, es posible que pueda extrapolar algunos patrones comprobables que ocurren a medida que agrega más pares de$4$ s a los dígitos debajo del signo de raíz cuadrada.