Lo que sigue está tomado más o menos directamente de la sección 4.1 de la obra de Jost Geometría riemanniana y análisis geométrico . (Donde utiliza $\mu$ Utilizaré $s$ para que coincida con la notación de la OP).
Creo que puedes confundirte al tratar de introducir el marco $\{ \mu_i \}$ . No creo que sea necesario mencionar los marcos aquí.
Considere una sección $s$ de $E$ . En cada $U_\alpha \subset M$ sobre el cual $E$ es trivial, podemos representar $s$ por una sección local $s_\alpha$ . Esto significa que $s_\alpha$ es un mapa $U_\alpha \to \mathbb{R}^n$ es decir, una función vectorial sobre $U_\alpha$ . $\varphi_{\beta \alpha}$ es un mapa $U_\alpha \cap U_\beta \to Gl(n, \mathbb{R})$ es decir, para cada punto $p \in U_\alpha \cap U_\beta$ , $\varphi_{ \beta \alpha}(p)$ es un mapa lineal invertible $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ . $s_\alpha$ y $s_\beta$ están relacionados, por $p \in U_\alpha \cap U_\beta$ , por $s_\beta (p) = [\varphi_{\beta \alpha}(p)] ( s_\alpha(p))$ (para responder a su pregunta I, se trata esencialmente de la definición del mapa de transición $\varphi_{\beta \alpha}$ ). (Dejaré la referencia al punto $p$ a partir de ahora).
Ahora, sobre la conexión $D$ . Como Jost discute y como usted menciona, $D$ define localmente en $U_{\alpha}$ una matriz $A_\alpha$ con entradas de una forma. De nuevo, utilizamos la trivialización local sobre $U_\alpha$ para ver nuestra sección $s$ localmente como un mapa $s_\alpha: U_\alpha \to \mathbb{R}^n$ . $D s$ es una sección de $E \otimes T^\ast M$ , es decir, a nivel local $Ds$ es una suma de términos de la forma $\sigma \otimes \omega$ , donde $\sigma$ es una sección de $E$ y $\omega$ es una forma única. Si escribimos el " $E$ -pieza" de $Ds$ localmente en términos de la trivialización local de $E$ podemos ver $Ds$ localmente como un vector con entradas de una forma que llamaré $(Ds)_\alpha$ (mi anotación, no la de Jost). Como Jost discute, $(Ds)_\alpha = ds_\alpha + A_\alpha s_\alpha$ , donde $d$ es la derivada exterior habitual que actúa por componentes sobre las entradas de la función vectorial $s_\alpha$ y $A_\alpha$ actúa sobre $s_\alpha$ por multiplicación matricial para dar un vector con entradas de una forma.
Ahora a su pregunta II. En $U_\alpha \cap U_\beta$ podemos escribir $Ds$ como un vector con entradas de una forma de dos maneras diferentes correspondientes a las dos trivializaciones locales: $(Ds)_\alpha$ y $(Ds)_\beta$ . Estas dos vías deben ser compatibles en el sentido de que la aplicación de $\varphi_{\beta \alpha}$ a $(Ds)_\alpha$ debería darnos $(Ds)_\beta$ Y de ahí viene la ecuación que has escrito: \begin{align*} \varphi_{\beta \alpha} ((Ds)_\alpha) &= (Ds)_\beta, \text{ i.e.,} \\ \varphi_{\beta \alpha} ((d+ A_\alpha) s_\alpha) &= (d+ A_\beta) s_\beta \end{align*}
Por último, sustituimos el hecho de que $s_\beta = \varphi_{\beta \alpha} s_\alpha$ en la ecuación anterior para resolver $A_\alpha$ en términos de $A_\beta$ . Esto responde a su pregunta III: \begin{align*} \varphi_{\beta \alpha} ((d+ A_\alpha) s_\alpha) &= (d+ A_\beta) (\varphi_{\beta \alpha} s_\alpha) \\ \varphi_{\beta \alpha} (d s_\alpha) + \varphi_{\beta \alpha} (A_\alpha s_\alpha) &= (d\varphi_{\beta \alpha})s_\alpha + \varphi_{\beta \alpha} (ds_\alpha) + A_\beta \varphi_{\beta \alpha} s_\alpha \text{ (using Leibniz rule for $d$)}\\ \varphi_{\beta \alpha} (A_\alpha s_\alpha) &= (d\varphi_{\beta \alpha})s_\alpha + A_\beta \varphi_{\beta \alpha} s_\alpha \\ A_\alpha s_\alpha &= \varphi_{\beta \alpha}^{-1} (d\varphi_{\beta \alpha} + A_\beta \varphi_{\beta \alpha} ) s_\alpha \\ \end{align*} Esto es válido para cada $s_\alpha$ (la sección $s$ era arbitraria), por lo que tenemos la siguiente igualdad de matrices con entradas de una forma en $U_\alpha \cap U_\beta$ : $$ A_\alpha = \varphi_{\beta \alpha}^{-1} (d\varphi_{\beta \alpha} + A_\beta \varphi_{\beta \alpha} ) $$
