Si $f(x)\leq f(f(x))$ todos los $x$$x\leq f(x)$?

Question

Si he a $f(x)\leq f(f(x))$ para todos los verdaderos $x$, puedo deducir $x\leq f(x)$?

Gracias.

Answer 1

No. Supongamos $f$ es una función constante.....

Answer 2

Deje $f(x)=1$. A continuación,$f(f(x))\leq f(1)=1$. Sin embargo, $2\geq f(2)=1$, de modo que la conclusión no se sigue.

Answer 3

Para un ejemplo que muestra que incluso desigualdad estricta $f(x)<f(f(x))$ todos los $x$ no implica $x\leq f(x)$ todos los $x$, considere la posibilidad de $$ f: x\mapsto \begin{cases} -\frac{|x|}2 &\text{if }x\neq0\\ \\-1&\text{if }x=0\\ \end{casos} $$ La discontinuidad en el $x=0$ es inevitable, ya que una función continua $\mathbf R\to\mathbf R$ que tiene tanto puntos de $x$ donde $x<f(x)$ y otros puntos donde $x>f(x)$ debe tener algunos puntos fijos con $x=f(x)$.