Dos definiciones contradictorias de la quiralidad

Question

Considere la posibilidad de un Majorana fermión incrustado en un Dirac spinor, $$\psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ i \sigma_2 \psi_L^* \end{pmatrix}.$$ El Majorana fermión $\psi_L$ es de izquierda quiral, es decir, se transforma en el $(1/2, 0)$ representación del grupo de Lorentz.

Ahora, también me han dicho que usted puede proyecto quiral utilizando componentes de $P_L = (1-\gamma_5)/2$$P_R = (1+\gamma_5)/2$. Entonces, yo habría esperado que $$P_L \psi = \psi, \quad P_R \psi = 0$$ aunque evidentemente este no es el caso.

El problema también aparece al considerar la carga de la conjugación, $$C: \psi \to -i\gamma_2 \psi^*.$$ Cargo de la conjugación no afecta a un Majorana fermión, por lo que abandona la representación de la quiralidad solo. Pero, por otro lado, si $P_L \psi = \psi$, luego $$P_R (C\psi) = C\psi$$ así se despliega el otro tipo de quiralidad.

¿Cuál es la diferencia entre estas dos nociones de quiralidad? Creo que mi problema es que estoy mezclando las propiedades del campo (la "representación" quiralidad) y las propiedades individuales de los estados cuánticos ($P_L/P_R$ quiral). Pero no he visto ningún libro de texto de distinguir entre los dos.

Answer 1

Creo que su problema es sobre todo un problema de la notación. Si usted escribe dos Weyl spinors dentro de un Dirac spinor, se deben utilizar diferentes símbolos para avoud confusión, es decir,

$$\psi = \begin{pmatrix} \xi_L \\ i \sigma_2 \xi_L^* \end{pmatrix}.$$

Ahora, su objeto de $\Psi$ tiene una izquierda quirales componente $\xi_L$ y un derecho-quirales componente $i \sigma_2 \xi_L^*$. (Una de Dirac spinor es un objeto que se transforma de acuerdo a la $(1/2,0) \oplus (0,1/2)$ de representación.) Por lo tanto debería ser ninguna sorpresa que las $P_R \Psi \neq 0$. El punto de Majorana fermión es que la izquierda y a la derecha quirales componentes no son independientes, es decir, el derecho-quirales componente es simplemente la carga de la conjugada de la izquierda-quirales componente. Un general de Dirac spinor, en contraste lee

$$\psi = \begin{pmatrix} \xi_L \\ \eta_R \end{pmatrix},$$

con $i \sigma_2 \xi_L^* \neq \eta_R$. Una manera de pensar acerca de Majorana spinors es tan "real" de Dirac spinors. Ver nota al margen de 12 aquí.