Un projectivity $\tau: \mathbb{CP^1} \to \mathbb{CP^1}$ tal que $\tau(P_i)=Q_i$

Question

Estoy luchando horas con este problema, que tiene probablemente una solución rápida, pero no ha surgido en mi mente aún:

Deje $P_i$ y $Q_i$, $i \in \{1,2,3\}$, dos proyectiva de los marcos de la $\mathbb{CP^1}$, determinar un projectivity $\tau: \mathbb{CP^1} \to \mathbb{CP^1}$ tal que $\tau(P_i)=Q_i$.

$P_1: \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $, $P_2: \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} $ $P_3: \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $

$Q_1: \begin{bmatrix} 1 \\ -i \\ \end{bmatrix} $ $Q_2: \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $, $Q_2: \begin{bmatrix} 1 \\ i \\ \end{bmatrix} $

Básicamente, tengo que resolver este sistema:

$\tau= \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{bmatrix} $, so that: $\begin{cases} b=k \\ d=-ik \end{los casos}$, $\begin{cases} a=s \\ c=s\end{los casos}$, $\begin{cases} a+b =t\\ c+d=it\end{casos}$

Alguna sugerencia? Gracias

Answer 1

Denotar $z:=[z, 1]$, $\infty := [1, 0]$.

Sugerencia: Hacer un Euclidiana de la división primera a escribir el projectivity en la forma $a+bz$ o $a + \frac b{(c-1)z+1}$. Esto simplifica el sistema, usted será capaz de encontrar los parámetros uno por uno.

No nos interesa la primera, ya que corrige $\infty$. El segundo envía envía $0\mapsto a+b$, envía $\infty \mapsto a$ $1 \mapsto a+b/c$.

Por lo tanto, podemos resolver para$a, b, c$, en ese orden! Tenemos $a = \tau(\infty) = 1$. Siguiente, $b = \tau(0) - a = i - 1$. Finalmente,$c = b/(\tau(1)-a) = \frac{i-1}{-i-1} = -i$. Nos encontramos $$\tau(z) = 1+ \frac{i-1}{(-i-1)z+1} = \frac{(-i-1)z+i}{(-i-1)z+1}$$ Es decir, $$\tau = \begin{bmatrix}-i-1&i \\-i-1&1 \\\end{bmatrix}$$