Inducción en reversa

Question

Por lo que la instrucción que tengo que probar es el siguiente $P(n)=n^3 -n$ es divisible por $3$.

Ahora tengo que probar esto con inducción hacia atrás para todos los números negativos, pero ya he hecho la misma cosa, pero con la "recta" de inducción para todos los números positivos.

Qué necesito para empezar desde el caso de $P(n+1)$ e ir de allí a $P(1)$ o $P(-1)$?

Del mismo modo:

$\begin{align} P(n+1) & = (n+1)^3 - (n+1) \\ & = n^3 + 3\cdot n^2 + 3 \cdot n + 1 - n + 1 \\ & = 3n(n+1) + n^3 - n \end{align}$

$\text{I.H.: So let's suppose the above statement holds for any}$ $n \in \mathbb { Z_0^{-}} $

Entonces ya no sé cómo continuar.

Para el 2^nd parte tengo que demostrar que el caso de los números negativos directamente de la siguiente manera fuera de los casos positivos.

No sé cómo conseguir que esta parte porque no estoy seguro de que el caso anterior.

Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Para mostrar que es válida para todos los números negativos mediante inducción hacia atrás (su parte b)), demuestre que es válida para$n = 0$ (o tal vez comience en$n=-1$), y luego demuestre que cada vez que se mantiene para algunos $n$, también es válido para$n-1$

Para la parte d):$n^3-n = n(n^2-1) = n(n+1)(n-1) = (n-1)n(n+1)$. Dado que estos son$3$ enteros consecutivos, uno de ellos será divisible por$3$

Answer 2

insinuación

$$P (n-1)=(n-1)^3-(n-1) $ $$$=(n-1)\Bigl ((n-1)^2-1\Bigr) $ $$$=(n-1)(n-1+1)(n-1-1)$ $$$=(n-2)(n-1)n $ $

= producto de tres enteros consecutivos. Uno de ellos es un múltiplo de$3$.

Answer 3

si$n<0$ tenemos$n^3−n=-(\vert{n}\vert^3-\vert{n}\vert)$,$\vert{n}\vert=1,2, 3...$.

Answer 4

Si usted demostrar un caso base que $P(n)$ $n= k$

Y ser positivo inducción paso que $P(n)\implies P(n+1)$, a continuación, a través de la inducción ha demostrado durante todos los $n \ge k$.

Y si ser negativa la inducción paso que $P(n) \implies P(n-1)$, a continuación, a través de la inducción ha demostrado durante todos los $n \le k$.

Y si puede probar ambos positivos y negativos de la inducción, a continuación, usted ha demostrado para todos los $n \ge k$ Y todos los $n \le k$ o en otras palabras, para todos los enteros.

Lo genial de esto es que usted puede elegir cualquier valor de la base de que te gusta. (Pero, ¿ tiene que elegir uno.)

Ex:

Deje $P(n) = 3|n^3 - n$

Caso Base: Vamos a $n = 13$$13^3 - 13 = 2184=3*728$.

Doble Inducción paso.

Suponga $P(n)$ $3|n^3 - n$ $n^3 - n = 3k$ para algunos entero $k$.

$(n\pm 1)^3 - (n\pm 1) = (n^3 \pm 3n^2+ 3n \pm 1) - (n\pm 1) = n^3 \pm 3n^2 +2n$

$= n^3 - n + 3n \pm 3n^2 = 3k + 3n \pm 3n^2= 3(k+n \pm n^2)$.

Por lo $3|(n\pm 1)^3 - (n\pm 1)$$P(n\pm 1)$.

Así que por inducción $P(n)$ tiene para todos los $n \ge 13$ $P(n)$ tiene para todos los $n \le 13$.

Por lo $P(n)$ tiene para todos los enteros.

Answer 5

Sugerencia $\ $ ha mostrado $\,3\mid P(n\!+\!1)-P(n)\,$ $\,3\mid P(n\!+\!1)\iff 3\mid P(n),\,$ e este bidireccional de inferencia se obtiene el tratado de inducción paso en ambas direcciones.

Comentario $ $ si $\,p(n)\,$ es cierto $\color{#c00}\Leftarrow\!\color{#0a0}\Rightarrow p(n\!+\!1)$ es verdadero, $ $ $p(n)$ es verdadera para todos los enteros $n$ $\iff p(n)$ es cierto para algunos entero $a$, ya que el $p(n)\color{#0a0}\Rightarrow p(n\!+\!1)\,$ nos permite ascender a la verdad de $p(a)$ a todos los números enteros $>a\,$ normales de la inducción, $ $ $\,p(n)\color{#c00}\Leftarrow p(n\!+\!1)\,$ nos permite descender la verdad de $p(a)$ a todos los números enteros $< a\,$ por la inversa de la inducción. $ $ Arriba es el caso de $\,p(n)\, :=\, 3\mid n^3-n\,$ y, por ejemplo, $\,a=0.$