¿Por qué Airy like Integrals es cero cuando los puntos de inicio y de finalización de la integración están en la misma porción de convergencia$\frac{1}{3}$?

Question

Antecedentes: Este es Bence et al. Métodos matemáticos:

La versión de la ecuación se resuelve es $$\frac{d^2y}{ dz^2}=zy\tag{1}$$

Si z es un parámetro, una solución como una integral de contorno es $$y(z)=\int_a^bf(t)e^{zt}dt\tag{2}$$ que produce cuando se está conectado a (1) $$\int_a^bt^2f(t)e^{zt}dt=\int_a^bzf(t)e^{zt}dt$$ $$=f(t)e^{zt}\mid_a^b-\int_a^b\frac{df(t)}{dt}e^{zt}dt$$ Si a y b se eligen de manera que el término medio es cero, la ecuación puede resolverse $$\frac{df(t)}{dt}+t^2f(t)=0$$ $$f(t)=Ae^{-t^3/3}\tag{3}$$ Esto ocurre cuando $arg(t)=\pm\pi/6+\frac{2n\pi}{3}$ debido a que la parte real de la t es positivo y el exponente va a cero. Inversión (3) en (1) y la normalización de los rendimientos de la $$Ai(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C1} e^{-t^3/3+zt}dt$$ Mientras las estaciones se encuentran en las regiones sombreadas, la ecuación es válida:

La pregunta, Según el texto, el contorno de la integral será cero si el inicio y los extremos están en la misma región sombreada. ¿Por qué la integral sea cero cuando el camino está completamente en una región sombreada, pero no cuando la ruta es en dos diferentes regiones sombreadas? Hipótesis/inculto adivinar: la Ecuación (1) tiene un punto singular en el infinito. Quizás esto significa que el contorno que atraviesa una rama cortada abarca los puntos en el infinito? Este podría ser usado para resolver la integral mediante el uso de los residuos en el infinito?

Referencias: Bence, Hobson, Riley, métodos Matemáticos pg 891

Answer 1

Considere la posibilidad de una curva de $C$ que se queda en el segmento de $|\arg(t)|\leq\theta<\pi/6$ y va hasta el infinito en ambas direcciones. Voy a argumentar que la curva puede ser deformada para que la integral es arbitrariamente pequeño. Un argumento similar se aplica para los otros segmentos.

Los puntos de recogida $z_0,z_1,\dots$, pasando a lo largo de $C$ en la misma dirección, con $|z_i| = N+i$ donde $N$ será elegido más tarde. Elija $z_{-1},z_{-2}$, pasando a lo largo de $C$ en la otra dirección, de $z_0$, $|z_i| = N+|i|.$ que puede sustituir a $C$ por los tramos contorno lineal $C'$ que va desde cada una de las $z_i$$z_{i+1}$, con una línea recta. Puesto que el integrando es todo, por Cauchy de la integral teorema, en sustitución de $C$ $C'$ no cambia el valor de la integral. El uso de un crudo enlazado $|z_i-z_{i+1}|\leq 5n$, la integral a lo largo de $C'$ puede estar delimitado por $\sum_{n\geq N} 10ne^{-\cos(3\theta)n^3/3+(n+1)|z|}$, lo que tiende a cero, como se $N\to\infty$. Eligiendo $N$ bastante grande por lo tanto, podemos dar arbitrariamente un pequeño obligado en la integral.

Con respecto a la "Podría ser utilizado para resolver la integral mediante el uso de los residuos en el infinito?": No. Trate de sustituir a$\tau=1/t$, se puede obtener una singularidad esencial en el origen, por lo que no se puede usar el teorema de los residuos.

Answer 2

Básicamente, cuando el contorno tiene sus extremos en la misma región, puede ser "reducido hacia \infty" mediante el uso del teorema de Cauchy: porque el integrando decae exponencialmente en las regiones sombreadas como $\lvert t \rvert \to \infty$, uno puede vinculado a la integral anterior por algo que decae a cero a medida que el contorno se deforma para mover más lejos del origen.

Por otro lado, si el contorno tiene sus extremos en diferentes regiones sombreadas, bucles alrededor de las partes no sombreadas de la región donde el integrando los golpes como $\lvert t \rvert \to \infty$. El final no puede ser deformado a través de esta región debido a la integral, entonces no convergen. Uno puede comprobar que la integral es cero por deformar el contorno de dos rectas rayos de reunión en el origen y la evaluación (numéricamente, por ejemplo, aunque tiene una forma cerrada en términos de la Gamma-función para $z=0$).