Espacio topológico de Hausdorff

Question

Quería explicar lo que creo que es un Hausdorff con mis propias palabras porque tal vez esa sea la raíz del problema.

Un Espacio de Hausdorff es aquel en el que para cada x e y en X con x no igual a y, existe un conjunto abierto que contiene a x y un conjunto abierto que contiene a y dentro de x y las intersecciones de eso es el conjunto vacío.

Mi primer problema es que necesito encontrar una topología que no sea un Hausdorff, y esa es la topología Cofinita que conozco de clase, pero no entiendo muy bien por qué.

Además, mi segunda pregunta es si me dan (X,T) es un espacio metrizable, ¿cómo pruebo que la topología (X,T) es un Hausdorff? Conozco las propiedades de un espacio metrizable, pero no cómo aplicarlas para demostrar que es una topología, o incluso una topología de Hausdorff.

¡Gracias!

Answer 1

En primer lugar, si no sabes qué es la topología inducida relacionada con un espacio métrico, entonces no puedes responder tu segunda pregunta, por lo que primero debes revisar eso.

En cuanto a tu definición de lo que es un espacio de Hausdorff, que parece ser básicamente correcta, intenta visualizar lo que está sucediendo. Ser Hausdorff significa que cualquier par de puntos distintos pueden ser separados por conjuntos abiertos disjuntos. Trata de dibujar una imagen que ilustre eso. En cuanto a un ejemplo de un espacio no Hausdorff, puedes comenzar mostrando algún ejemplo muy simple de tales espacios. Por ejemplo, el espacio $X={1,2}$ con la topología $\{X,\emptyset \}$ no es Hausdorff.

Answer 2

Sugerencias:

1) Sea $\Bbb N=\{1,2,\cdots,n,\cdots\}$ con topología cofinita, es decir, $\tau=\{U \subset \Bbb N: \Bbb N\setminus U \text{ es finito }\}$. Entonces este espacio $(\Bbb N, \tau)$ no es Hausdorff.

2) Supongamos que $x\not=y$. Sea $|x-y|=2\epsilon$. Entonces dos conjuntos abiertos, $B(x,\epsilon)$ y $B(y,\epsilon)$, demuestran que el espacio métrico es Hausdorff.

Answer 3

Parte 1:

Si $x, y$ son puntos en $X$ donde $X$ tiene la topología de complemento finito (cofinito) (y es infinito) entonces elige $O_x$ como un conjunto abierto que contiene a $x$ y $O_y$ para $y$. El complemento $X \ O_x$ es finito y $O_y$ contiene infinitos puntos (porque si no lo hiciera, su complemento no sería finito) por lo que $O_y$ no puede estar contenido en $X \ O_x$ y $O_y \cap O_x$ no está vacío.

Un ejemplo más trivial de un espacio que no es Hausdorff es la topología indiscreta en un espacio.

Parte 2:

Si $X$ es metrizable entonces $B_x = \{ y : T(x, y) < \epsilon\}$ es un conjunto abierto (en la topología métrica). Así que si tienes dos puntos $x, y$ tal que $T(x, y) = d$ para algún $d \neq 0$ entonces puedes definir conjuntos abiertos alrededor de cada punto de modo que ningún tercer punto pueda estar en ambos (usando la desigualdad triangular).

Answer 4

Para un ejemplo muy simple de un espacio topológico que no es Hausdorff, considera el conjunto de dos puntos $X=\{x,y\}$ con la topología trivial, es decir, solo $X$ y $\emptyset$ son abiertos. Entonces no hay conjuntos abiertos que contengan a $x$ excepto $X$, así que ciertamente la definición de Hausdorff no se cumple.

(Nota que este ejemplo realmente falla en todos los axiomas de separación, si los has visto; Hausdorff es uno de ellos.)

Ahora, si $X$ es un conjunto infinito, entonces la topología cofinita no es Hausdorff por la siguiente razón. Elije $x, y\in X$ con $x\neq y$. Para cualquier conjunto abierto $U_x$ que contenga a $x$, el complemento de $U_x$ es finito por definición de la topología cofinita, y de manera similar para cualquier conjunto abierto $U_y$ que contenga a $y. Se sigue que el complemento de $U_x \cap U_y$ también debe ser finito, ya que es la unión de dos conjuntos finitos. En particular, $U_x\cap U_y$ debe ser finito y no puede ser vacío.

Para tu pregunta final, dadas dos puntos $x,y\in X$ donde la topología en $X$ está dada por una métrica, si $x\neq y$, entonces la distancia $d(x,y) \neq 0$. Entonces la bola de radio $d(x,y)/2$ alrededor de $x$ y la bola de radio $d(x,y)/2$ son ambas abiertas y no se intersecan. Por lo tanto, la topología es Hausdorff.