El conjunto de diffeomorphisms preservar algunas métricas.

Question

Deje $M$ ser finito-dimensional, suave colector. Llamar a un diffeomorphism $f : M \rightarrow M$ diagonalizable si existe una métrica de Riemann $g$ $M$ tal que $f : (M, g) \rightarrow (M, g)$ es una isometría. Tengo algunas preguntas con respecto a tales objetos.

a) Es el conjunto Diag(M) de todos los diagonalizable diffeomorphisms un grupo en la composición?

b) tomar Nota de que, con el fin de ser diagonalizable, un diffeomorphism deben poseer las siguientes conocida propiedad de isometrías:

$$\text{If}~f(p) = p~\text{and}~df(p) = \mathrm{Id}_{T_pM}, \text{for some $p \in M$, then}~f = \mathrm{Id}_M. (*)$$

Es $(*)$ también una condición suficiente? En otras palabras, dado un diffeomorphism $f \in \mathrm{Diff}(M)$ satisfacción $(*)$, hay una métrica de Riemann para que $f$ es una isometría? Tal vez esto es demasiado general, ya que cualquier diffeomorphism no la fijación de cualquier punto satisface $(*)$, pero no sé la respuesta.

Mi motivación aquí es saber cómo de grande es el conjunto de diffeomorphisms que podría ser isometrías en el conjunto de todos los diffeomorphisms. Pido disculpas si me estoy perdiendo algo de notación estándar y/o el vocabulario de aquí. Lo agradezco, como siempre, todas las referencias.

Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí es una idea, pero hay muchos problemas en los detalles.

Deje $f : M \to M$ ser un diffeomorphism, y deje $g_0$ ser cualquier métrica de Riemann en $M$. Para cada una de las $n$, vamos a $g_{n+1} = f_* g_n$ ser el pushforward de $g_n$ bajo $f$. Por construcción, cada una de las $f$ es una isometría $(M, g_n) \to (M, g_{n+1})$, pero esto no es lo que queremos. Sin embargo, es bien sabido que el espacio de Riemann métricas es cerrado bajo positivo de las combinaciones lineales, por lo que considerar la siguiente construcción: conjunto de $$\bar{g}_N = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} g_n$$ Esto da lugar a una nueva secuencia de métricas de Riemann en $M$. Observar que $$f_* \bar{g}_N = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} g_n$$ y así $$f_* \bar{g}_N - \bar{g}_N = \frac{1}{N} (g_N - g_0)$$ Esto sugiere que si el límite $$\bar{g} = \lim_{N \to \infty} \bar{g}_N$$ existe y es un buen métrica de Riemann, y si $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (g_N - g_0) = 0$$ a continuación, tendremos $f : (M, \bar{g}) \to (M, \bar{g})$ una isometría como se desee.

Por supuesto, no hay ninguna razón para creer que nada de esto funciona. Por ejemplo, volvamos a fijar una norma en el espacio de $V = \Gamma (M, T^*M \otimes T^* M)$, y consideran que el operador lineal $f_* : V \to V$. Si $f_*$ no es un delimitada operador lineal en $V$ no hay ninguna razón para creer que la secuencia de $(\bar{g}_1, \bar{g}_2, \ldots)$ deberían converger. Si $f_*$ es limitada, pero con el operador de la norma mayor que $1$ tendríamos que modificar nuestra construcción con el fin de que $g_{N-1}$ no ensombrecer las aportaciones de los anteriores indicadores. Si está enlazado con el operador de la norma a menos de $1$ nos tiene que preocuparse acerca de si $\bar{g} = 0$ o de otras degeneraciones. No hay ninguna razón para creer que $\bar{g}$ es suave, incluso cuando converge. Pero tal vez en algún lugar para empezar.

Answer 2

Respecto a tu pregunta (a), el conjunto de $\text{Diag(M)}$ de todos los diagonalizable diffeomorphisms es que no siempre cerrada en la composición. (Así, en particular, no es un grupo).

Tomar, por ejemplo,$M=\mathbb{R}^n$ , y considerar lineal diffeomorphims.

Está demostrado aquí que una lineal automorphism $T:V \rightarrow V$ preserva producto interior en $V$ si y sólo si la matriz de $T$ w.r.t arbitrario base es similar a una matriz ortogonal. El punto es que la composición de dos transformación de este tipo no es necesariamente también de ese tipo. (Lo que equivale a demostrar que la unión de las clases conjugacy de $O(n)$ no es un subgrupo, ver aquí).

En particular, si tomamos $A = \pmatrix{0&2\\-1/2&0}$, $A,A^T$ tanto interior conserva algunos productos en $\mathbb{R}^2$ , pero su producto $AA^T = \pmatrix{4&0\\0&\frac14}$ no.

Mientras que el resultado anterior tiene pointwise (es una expresión algebraica resultado, válido para un único vector de espacio, que puede ser pensado como un espacio de la tangente), tenga en cuenta que para transformaciones lineales, podemos identificarlos con sus diferenciales (después de la identificación de la tangente espacios canónicamente con $\mathbb{R}^n$).

Ahora surgir la pregunta natural: ¿qué pasa con otros colectores?