¿Es la verdadera declaración siguiente?
Que $f_n$ ser una secuencia de funciones no negativas en $L^1(X,m)$, donde $(X,\Sigma,\mu)$ es un espacio de probabilidad, que $|fn - f|{L^1(X)}\to 0 $ $f \in L^1(X)$. Entonces existe a subsequence $f_{nk}$ y una función $g \in L^1(X,\mu)$ tal que $$f{n_k}(x) \le g(x) \quad \text{for $\mu$-a.e } x \in X .$$
Sé que existe un subsequence que converge casi por todas partes, pero realmente no sé cómo utilizar esta información. ¿Alguna sugerencia?
Esto es correcto, incluso si las funciones no son necesariamente no negativas. Elegir $nk$ tal que el $|f{nk} - f | \le 2^{-k}$ y set $$ g = | f | + \sum{k \ge 0} | f_ {n_k}-f | \, $$
La suma converge en $L^1$ por la opción del subsequence y claramente $f_{n_k} \le g$ % todo $k$, ya que todos los términos son no negativos.
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