Cálculo de la curvatura mediante el formalismo de Cartan

Question

Dada una métrica $g_{\mu \nu}$ se puede seleccionar una base ortonormal $\omega^{\hat{a}}$ tal que, $$ds^2= \omega^{\hat{t}}\otimes\omega^{\hat{t}} - \omega^{\hat{x}} \otimes \omega^{\hat{x}} - ...$$

Empleando las ecuaciones estructurales de Cartan, se pueden "leer" las componentes del tensor de Ricci y del tensor de curvatura de Riemann en la base ortonormal . Mi pregunta es: ¿Cómo puedo llevar mis tensores de curvatura en la base ortonormal de vuelta a la base de coordenadas después?

Answer 1

I) El vielbein $e^a{}_{\mu}$ en el Formalismo de Cartan es un entrelazador

$$\tag{1} g_{\mu\nu}~=~e^a{}_{\mu} ~\eta_{ab} ~e^b{}_{\nu} $$

entre la métrica curvada (pseudo) de Riemann $g_{\mu\nu}$ y la correspondiente métrica plana $\eta_{ab}$ . Aquí $\mu,\nu,\lambda, \ldots,$ son los llamados curvado índices, mientras que $a,b,c, \ldots,$ son los llamados plano índices.

II) El Tensor de curvatura de Riemann $R^d{}_{abc}$ con índices planos está relacionado con el tensor de curvatura de Riemann

$$\tag{2} R^{\sigma}{}_{\mu\nu\lambda} ~=~(e^{-1})^{\sigma}{}_{d}~ R^d{}_{abc}~e^a{}_{\mu}~e^b{}_{\nu}~e^c{}_{\lambda} $$

con índices curvos multiplicando con los factores apropiados del vielbein y su inverso de la manera obvia. De forma similar para el tensor de Ricci.