Encontrar G-submódulos

Question

Deje G ser un grupo cíclico de orfer 3, siendo el generador$\alpha$. Deje V =$k^3$. Dejar $\alpha e_1=e_2$, $\alpha e_2=e_3$, $\alpha e_3=e_1$. Cómo encontrar todos$G$ - submódulos de V cuando

un) $K=\mathbb R$

b)$K=\mathbb C$

Intente: He encontrado el% unidimensional$G$ - submódulos, el problema surge para bidimensional$G$ - submódulos.

Answer 1

Para la parte (b) el campo es algebraicamente cerrado por lo que no hay uno-dimensional irreducibles representaciones puesto que G es abeliano para todos los submódulos de G dirige sumas los unidimensional.

Answer 2

Sobre los reales tendrá un unidimensional módulo se extendió por $e_1+ e_2+ e_3$.

A continuación, hay una irreductible de dos dimensiones módulo de $U$, distribuido por $f_1 = e_1 - e_2$, e $f_2 = e_2 - e_3$. La acción es $$ \alpha f_1 = \alpha(e_1 - e_2) = e_2 - e_3 = f_2, \qquad \alpha f_2 = \alpha(e_2 - e_3) = e_3 - e_1 = - f_1 - f_2. $$ Por lo que la matriz de la acción de la $\alpha$$U$, con respecto a la base $f_1, f_2$, es $$ B = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & -1\\ \end{bmatrix}. $$

El submódulo $U$ es irreductible, desde los primitivos $3$rd raíces de la unidad $\omega, \omega^{2}$, que son los autovalores de a $B$, no son reales. Sobre los números complejos $U$ divisiones como la suma de las dos dimensiones de los módulos distribuidos, respectivamente, por $$ e_1 + \omega e_2 + \omega^{2} e_3, \qquad e_1 + \omega^{2} e_2 + \omega e_3. $$

Todo se reduce a la factorización del polinomio característico $x^{3} - 1$ de la matriz $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ de la acción de la $\alpha$ $V$ con respecto a la base de la $e_i$. Sobre los reales es $$ x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1), $$ sobre los números complejos es $$ x^{3} - 1 = (x - 1) (x - \omega) (x - \omega^{2}). $$ Esto está relacionado con el hecho de que la acción de la $G$ $V$ similar es el de regular la representación de $G$ en el grupo de álgebra $$ k[G] \cong \frac{k[x]}{(x^3 - 1)}. $$

Answer 3

Sean, con la ayuda de Jim, respondió la parte (b). Para la parte (a), donde el campo es$\mathbb R$, piense en$V$ como espacio euclidiano tridimensional y considere el complemento ortogonal del submódulo$1$ - dimensional.