Integración sin sustitución de $\frac{x^2+3}{x^6\left(x^2+1\right)}$

Question

Este es un repost de una pregunta que había escrito incorrectamente antes.

¿Cómo integrar esto sin sustituciones?

$$ \frac{x^2+3}{x^6\left(x^2+1\right)} $$

Tengo: $$ \frac{1}{x^6}+\frac{2}{x^6\left(x^2+1\right)}, $$, pero no fue capaz de eliminar el 2.

Answer 1

ps

Answer 2

Si usted no quiere ir a la formal parcial de las fracciones de la ruta, usted puede de manera sistemática el chip de distancia en el denominador de la siguiente manera:

$$\begin{align} {x^2+3\over x^6(x^2+1)}&={3(x^2+1)-2x^2\over x^6(x^2+1)}\\ &={3\over x^6}-{2\over x^4(x^2+1)}\\ &={3\over x^6}-{2(x^2+1)-2x^2\over x^4(x^2+1)}\\ &={3\over x^6}-{2\over x^4}+{2\over x^2(x^2+1)}\\ &={3\over x^6}-{2\over x^4}+{2(x^2+1)-2x^2\over x^2(x^2+1)}\\ &={3\over x^6}-{2\over x^4}+{2\over x^2}-{2\over x^2+1}\\ \end{align}$$

El último lote de términos que son fáciles de integrar, siempre y cuando usted reconozca $1/(x^2+1)$ como la derivada de la $\arctan x$.

Nota: Una sólida comprensión de fracciones parciales permite escribir

$${x^2+3\over x^6(x^2+1)}={Ax^4+Bx^2+C\over x^6}+{D\over x^2+1}$$

(debido a que $x$ sólo aparece incluso los poderes de la expresión que estamos tratando de descomponer) y, a continuación, se puede resolver para los coeficientes $A$, $B$, $C$, y $D$. Usted obtendrá la misma respuesta.

Answer 3

Una vez que la expresión igual a $\frac{1}{x^6}+\frac{2}{x^6\left(x^2+1\right)}$ (como se indica en la pregunta), se puede llegar a la fracción parcial descomposición sin fracciones parciales. Utilizando la fórmula para una serie geométrica infinita, ampliar $\frac{1}{x^2+1}=1-x^2+x^4-x^6\dots$, que le permite escribir su expresión como $$\frac{1}{x^6}+\frac{2}{x^6}-\frac{2}{x^4}+\frac{2}{x^2}-2(1-x^2+x^4-x^6\dots)=\frac{3}{x^6}-\frac{2}{x^4}+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{1+x^2}.$ $

Answer 4

$\bf{My\; Solution}$ Dado $\displaystyle \int\frac{x^2+3}{x^6(x^2+1)}dx = \int\frac{(x^2+1)+2}{x^6(x^2+1)}dx = \int x^{-6}dx+\int\frac{2}{x^6(x^2+1)}dx$

$\displaystyle =-\frac{1}{5}x^{-5}+I,$ donde $\displaystyle I = \int\frac{2}{x^6(x^2+1)}dx$

Ahora utilizando $\displaystyle x= \frac{1}{t}$ y $\displaystyle dx = -\frac{1}{t^2}$. Así que $\displaystyle I = -\int \frac{2t^6}{1+t^2}dt = -\int \frac{2(t^6+1)-2}{1+t^2}dt$

Así $\displaystyle I = -2\int \frac{t^6+1}{t^2+1}dt+\int \frac{2}{1+t^2}dt = -2\int (t^4-t^2+1)dt+2\tan^{-1}(t)$

$\displaystyle = -\frac{2t^5}{5}+\frac{2t^3}{3}-\frac{2t^2}{2}+2\tan^{-1}(t)+\mathcal{C} = -\frac{2}{5x^5}+\frac{2}{3x^3}-\frac{2}{2x^2}+2\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\mathcal{C}$

Así $\displaystyle \displaystyle \int\frac{x^2+3}{x^6(x^2+1)}dx = -\frac{1}{5x^5}-\frac{2}{5x^5}+\frac{2}{3x^3}-\frac{2}{2x^2}+2\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\mathcal{C}$