Si un "grupo" tiene dos identidades entonces no es un grupo

Question

La historia es así: Un amigo y yo encontramos este viejo ejercicio:

Dejemos que $G=\Bbb R-\{-1\}$ y $a*b:=a+b+ab$ es $(G,*)$ ¿un grupo?

Yo digo que $(G,*)$ no es un grupo porque para cualquier $a\in G$ se deduce que $0*a=0+a+0a=a+0+a0=a*0$ y también $1*a=1+a+1a=a+1+a1=a*1$ por lo que tiene dos identidades. Mi amigo dice que no importa que tenga dos identidades ya que la definición que tenemos dice que "existe un elemento tal que bla bla bla" . Pero digo que sí importa porque luego pasa lo que pasa con la inversa, pasa algo así: $0=a*a^{-1}=1 \rightarrow 0=1$ (¡¡¡Feo!!!). ¿Estoy en lo cierto? o su mente malvada de trolling está en lo cierto?
¿O de forma (absurda) la definición no es correcta?

( Debería haber una etiqueta llamada [settle-argument] )
Por supuesto, estoy bromeando

Answer 1

$1*a=2a+1\not\equiv a$ y así $1$ es no una identidad. En cambio, lo que demostró es que $1$ es un centro no trivial, que todos los elementos que no sean $0$ será ya que esta operación es abeliana. No es posible que un conjunto tenga dos identidades izquierda-derecha distintas, ya que si $e_1$ y $e_2$ son identidades, entonces $e_1*e_2=e_1$ y $e_1*e_2=e_2$ y así $e_1=e_2$ .