Probar es abierto subconjunto de $\mathbb R^2$

Question

Problema. Que $G = {(x,y): x \ne y}$. Prueba $G$ es un subconjunto abierto de $\mathbb R^2$.

Lo que me refiero: si yo pude mostrar que $\mathbb R^2 \setminus G = {(x,y): x = y}$ es un conjunto cerrado, entonces su complemento $G$ está abierto. Podría ser totalmente apagado. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sólo partición $G$ en dos conjuntos disjuntos: Vamos a $G_1 = \{(x,y) : x > y \}$$G_2 = \{(x,y) : x < y \}$, entonces claramente $G = G_1 \cup G_2$.

Ahora, WLOG, vamos a mostrar que $G_1$ está abierto. Deje $\textbf{x} = (x_1,y_1) \in G_1$, e $B_\textbf{x}(r)$ ser la pelota alrededor de $\textbf{x}$ radio $r$. En orden para $G_1$ a de ser abierto, tenemos que encontrar una $r$ tal que $B_\textbf{x}(r) \subset G_1$. Pero, acaba de elegir a $r$ a ser la distancia más corta entre el $x$ y la línea de $y=x$. De manera informal, sabemos que la distancia más corta entre un punto a una recta es sólo la intersección de la línea con el punto de $\textbf{x}$, y la recta y = x (en nuestro caso). La línea normal se $y = -x + x_1 + y_1$ (por un rápido cálculo), y si se nos cruzan esta línea con $y=x$, obtenemos $x = \frac{x_1 + y_1}{2}$, por lo que podemos calcular la distancia a $\frac{x_1 - y_1}{\sqrt 2}$. elija $r$ a ser esto, y nos han mostrado $G_1$ estará abierto.

Hacer lo mismo para$G_2$, $G$ es la unión de 2 conjuntos, y hemos terminado.

Answer 2

La definición de un conjunto abierto : Un subconjunto $U$ a de un espacio métrico $(M,d)$ se llama \textit{open} si, dado cualquier punto de $x$$U$, existe un número real $ε > 04$ de manera tal que, dado cualquier punto de $y$ $M$ con $d(x, y) < ε$, $y$ también pertenece a $U$.

En el caso de una recta en el plano dado por la ecuación de $ax + by + c= 0$ donde $a, b$ $c$ son reales constantes con $a$ $b$ no ambos cero, la distancia de la línea a un punto de $(x_0,y_0)$ es $$ \frac{|ax_0 + by_0 +c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$ Ahora, estamos interesados en una línea específica, a saber,$y = x$, es decir,$x - y = 0$.

La distancia de cualquier punto de $(x_0, y_0)$ $G$ a la línea de $ x -y = 0$ es por lo tanto $$r :=\frac{|x_0 -y_0|}{\sqrt{2}}.$$

Ahora, considere la bola abierta centrada en $(x_0,y_0)$ y de radio $r$. Hacer que cada elemento de esta bola pertenecen a $G$ ?

Answer 3

Sugerencia (que estaba buscando):

Utilizar el teorema que dice que la gráfica de una función real continua está cerrado.

$A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x=y\}$ es la gráfica de la función continua $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Donde $$f(x)=x$$.

Por lo tanto a es cerrado. Por lo tanto, su complemento es abierto.

---

Addendum:

El teorema no se cumple en general, pero ciertamente no para los espacios de Hausdorff. Todos los espacios métricos ($\mathbb{R}$ es un espacio métrico) son Hausdorff.

Otro teorema que podría ser aplicado directamente en la solución de este problema es:

Teorema: Un espacio topológico $X$ es Hausdorff si su diagonal es cerrado.

La diagonal se define como $$\{(x,x):x\in X\}$$

Nota: La diagonal es cerrado en la topología producto en $X\times X$.

Answer 4

Sugerencia: $\Bbb{R}^2 - G$ resultados en línea. ¿Puede esta completa $G$?