Raíz cuadrada del producto de una matriz con una matriz diagonal

Question

Si tengo una matriz M que se puede descomponer como

$M = DH$

donde $D$ es una matriz diagonal y $H$ es otra matriz con raíz cuadrada semidefinida positiva conocida $H^{1/2}$ ¿se obtiene una fórmula o método para encontrar $M^{1/2}$ ?

Algunos detalles adicionales para el problema específico que estoy viendo, tanto D como H son semidefinidos positivos, hermitianos y tienen traza 1. En general, son no conmutadores.

Answer 1

Por "el único no negativo raíz cuadrada", supongo que te refieres a una raíz cuadrada semidefinida positiva. Pero si es así, tu pregunta no está bien planteada: si $M^{1/2}$ es semidefinido positivo, por lo que también lo es $M$ . Por lo tanto, $M$ es hermético. Sin embargo, si $M=DH$ donde $M$ es hermitiana, $D$ es diagonal y $H$ es hermético, entonces $D$ y $H$ debe desplazarse.

Editar: En cualquier caso, no creo que haya ninguna fórmula fácil para calcular la raíz cuadrada de $DH$ en general. Cuando $D$ es no singular, podemos calcular $(DH)^{1/2}$ como $$ (DH)^{1/2} = D^{1/2} (D^{1/2} H D^{1/2})^{1/2} D^{-1/2},, $$ donde $(D^{1/2} H D^{1/2})^{1/2}$ es la única raíz cuadrada semidefinida positiva de $D^{1/2} H D^{1/2}$ . Este $(DH)^{1/2}$ es la única raíz cuadrada de $DH$ con valores propios no negativos. Pero para calcularlo, hay que encontrar la raíz cuadrada de $D^{1/2} H D^{1/2}$ y para ello, sabiendo $H^{1/2}$ no es realmente útil.