Deje $S$ el conjunto de $3 \times 3$ matrices $\rm A$ con entero entradas, que $$\rm AA^{\top} = I_3$$ What is $|S|$ (cardinality of $$S)?
La respuesta se supone que para ser 48. Aquí está mi prueba y me gustaría saber si es correcto.
Así que, voy a aprovechar el hecho de que la matriz a en un conjunto serán orthognal, así que si la matriz es de la forma \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}
A continuación, cada columna y fila se tiene exactamente un elemento no nulo que será de +1 o -1. Por lo tanto, que he dividido posibilidades para la primera columna en tres de los casos y se contaron las posibilidades en cada caso de la siguiente manera :- $$a_{11} \neq 0$$ or $$ a_{21} \neq 0$$ or $$ a_{31} \neq 0$$
En el caso 1), es obvio que tenemos dos posibilidades(+1 o -1) por lo tanto consideramos que el uno donde la entrada es de +1. Ahora, observe que en el momento que elija la próxima entrada distinto de cero, todos los lugares para los no-cero entradas se decidió, debido a la regla de cada columna y fila se tiene exactamente un elemento no nulo'. Es decir, si b y c son dos restantes no-cero entradas, sólo tenemos dos posibilidades a la izquierda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \\ \end{bmatrix}
o
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ \end{bmatrix}
Utilizando el hecho de que b y c son simplemente $$\pm1$$
En cada una de las matrices, tenemos 4 posibilidades para cada uno de los matricies. Así, el 8 de posibilidades en su totalidad. Básicamente, estamos recibiendo el 8 de posibilidades en el supuesto de que $$a_{11} = 1$$
Por lo tanto, obtenemos 16 de posibilidades en el caso de que $$a_{11} \neq 0$$
Siguiente, el segundo y el tercero de forma análoga, se obtiene un total de 16 posibilidades en cada uno de ellos y 48 posibilidades en total.
Fuente :- Instituto Tata de Investigación Fundamental de la Escuela de Posgrado de Admisión 2016
