Resolver

Question

Tratando de resolver esto por un tiempo, así que ahora era capaz de llegar sin una respuesta apropiada.

Problema : $\displaystyle \int (4x+2)\sqrt{x^2+x+1}\,dx$.

Traté de tomar dos comunes de $(4x+2)$ y también para tomar las $(x+1)^2 - x$ desde la raíz, pero no era capaz de llegar con algo para tomar a la sustitución. Una pista en la dirección correcta sería muy apreciada

Editar :

Se me olvidó mencionar esto. Como esto es parte de la integración por sustitución ejercicio sería muy apreciado si usted puede proporcionar la sugerencia en esa dirección.

Answer 1

Sugerencia:

¿Piden $$ \int (4 x +2) \sqrt {x ^ 2 + x +1} \ dx = \ldots? $$ Si es así, deje que $u=x^2+x+1\ \Rightarrow\ du=2x+1$.

Answer 2

Soy muy nueva para la integración y mis métodos son descuidado, pero me gustaría probar esta pregunta. La siguiente no es una respuesta sino una demostración de que cualquier sustitución puede hacer el trabajo mientras esté bien hecho (Aunque, fundamental zen de cálculo dicta que las más justas manera es la manera más rápida, creo que cualquier camino es mejor que ninguna ruta de acceso)

Voy a probar mi suerte con $u = 4x+2 \implies \frac{du}{dx} = 4 \implies dx= \frac{1}{4} du$

También, por la hipótesis anterior, $x = \frac{u-2}{4}$ $$ \requieren{cancel} \begin{align} &\int (4x+2)\sqrt{x^2+x+1}\,dx \\ &= \int{u\cdot\sqrt{\left(\frac{u-2}{4}\right)^2 + \frac{u-2}{4}+ 1}}\cdot\frac{1}{4} du\\ &= \frac{1}{4} \int{u}\cdot\sqrt{\frac{u^2 - 4u + 4 +4(u-2) + 4^2}{4^2}}\, du\\ &= \frac{1}{4} \int{ u \cdot \frac{1}{4}\cdot \sqrt{u^2 \cancel{- 4u} + 4 \cancel{+ 4u} - 8 +16}}\, du\\ &=\frac{1}{16} \int{u\cdot\sqrt{u^2 + 12}}\, du \end{align} $$ Mhh, tenemos que sustituir de nuevo para continuar. Vamos a continuar con este $$v =\sqrt{ u^2 + 12 } \implica \frac{dv}{du} = \frac{2u}{2\sqrt{u^2 + 12}} = \frac{u}{v} \implica du = \frac{v}{u}\, dv$$ Continuando, $$ \begin{align} &\frac{1}{16} \int{u\cdot\sqrt{u^2 + 12}}\, du \\ &= \frac{1}{16} \int{u\cdot v \cdot \frac{v}{u}\, dv} \\ &= \frac{1}{16}\int{v^2}\, dv\\ &= \frac{1}{16}\frac{v^{2+1}}{(2+1)} + C\\ &= \frac{v^3}{48} + C \end{align}$$

Poner a $v$ interms de $x$, usted probablemente va a obtener la respuesta correcta.

$\dots$ Tal vez tomando $u=x^2+x+1$ habría sido una mejor sustitución. Así, la práctica hace la perfección! :D

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Con $\ds{\root{x^{2} + x + 1} = x + t}$ vamos a llegar $\ds{x = {1 - t^{2} \over 2t - 1}}$ tal que

\begin{align} &\color{#c00000}{\int\pars{4x + 2}\root{x^{2} + x + 1}\,\dd x} =\int{32 t^{3} + 12t^{2} - 4 \over \pars{2t - 1}^{4}}\,\dd t \end{align}

Ahora configuraremos $\ds{t \equiv {1 - a \over 2}}$. Entonces

\begin{align} &\color{#c00000}{\int\pars{4x + 2}\root{x^{2} + x + 1}\,\dd x} =\int\pars{{27 \over 16 a^{4}} - {a^{2} \over 16} + {9 \over 16a^{2}} -{3 \over 16}}\,\dd a \\[5mm]&=-\frac{a^3}{48}-\frac{9}{16 a^3}-\frac{3 a}{16}-\frac{9}{16 a} \\[5mm]&=-\frac{1}{48} (1-2 t)^3-\frac{3}{16} (1-2 t)-\frac{9}{16 (1-2 t)} -\frac{9}{16 (1-2 t)^3} \\[5mm]&=-\frac{1}{48} \left[1-2 \left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)\right]^3-\frac{3}{16} \left[1-2 \left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)\right]-\frac{9}{16 \left[1-2 \left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)\right]}-\frac{9}{16 \left[1-2 \left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)\right]^3}\\[5mm]& + \mbox{a constant} \end{align}