Demostrar la transitividad de $\forall X( X\subseteq A\setminus\{a, b\}\rightarrow(X\cup \{a\}\in\mathcal{F}\rightarrow X\cup\{b\}\in\mathcal{F}))$

Question

Esta es de "How to Prove It, 2nd Ed." de Velleman, ejercicio 4.3.23.

Supongamos que $A$ se establece, y $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(A)$ . Sea $$R=\{(a,b)\in A\times A : \text{for every } X\subseteq A\setminus\{a, b\}\text{, if } X\cup \{a\}\in\mathcal{F}\text{ then } X\cup\{b\}\in\mathcal{F}))\}$$ Demostrar que $R$ es transitivo.

1. En primer lugar, no estoy seguro de si he leído bien y si mi anotación es correcta: $$R=\{(a,b)\in A\times A : \forall X( X\subseteq A\setminus\{a, b\}\rightarrow(X\cup \{a\}\in\mathcal{F}\rightarrow X\cup\{b\}\in\mathcal{F}))\}$$
2. Para demostrar que $R$ es transitiva, tenemos que demostrar que $$\forall a\in A\;\forall b\in A\;\forall c\in A\;((aRb\wedge bRc) \rightarrow aRc),$$ así que para empezar suponemos y dejamos todo lo habitual:
   • dejar $a,b,c\in A$
   • Supongamos que $aRb \wedge bRc$
   • ampliar $aRc$ a $\forall X( X\subseteq A\setminus\{a, c\}\rightarrow(X\cup \{a\}\in\mathcal{F}\rightarrow X\cup\{c\}\in\mathcal{F}))$
   • dejar $X$ sea arbitraria y suponga $X\subseteq A\setminus\{a,c\}$
   • Supongamos que $X\cup\{a\}\in\mathcal{F}$
   • demostrar que $X\cup\{c\}\in\mathcal{F}$
3. Ahora Velleman sugiere dividir la prueba en casos: $b\not\in X$ y $b\in X$ . Demostrando que $R$ es transitivo para $b\not\in X$ es bastante sencillo. Todo lo que tenemos que hacer es mostrar desde $b\not\in X \wedge X\subseteq A\setminus\{a,c\}$ que $X$ también es un subconjunto de ambos $A\setminus\{a,b\}$ y $A\setminus\{b,c\}$ y sólo seguimos las suposiciones $aRb$ y $bRc$ para concluir $X\cup\{c\}\in\mathcal{F}$ .
4. Ahora debemos demostrar la transitividad cuando $b\in X$ . Para este caso, Velleman sugiere trabajar con $X'=(X\cup\{a\})\setminus\{b\}$ y $X''=(X\cup\{c\})\setminus\{b\}$ Y esta es la parte que no entiendo. ¿Por qué usar $X'$ y $X''$ para esta prueba, y cómo se conectan realmente con todos los dados/supuestos? Puedo ver cómo todo esto se conecta después de ampliar $aRb$ y $bRc$ pero no veo cómo esto es una prueba correcta.

Así que mis preguntas son: ¿es la 1. notación correcta para la relación dada $R$ y cómo se conecta el 4. con el givens.

Si hay algún otro enfoque, estaría muy agradecido por cualquier indicación.

Answer 1

Sí, lo que has escrito en (1) es equivalente a la definición del problema, aunque creo que la mayoría de los lectores encontrarán la versión original más fácil de asimilar.

En la prueba de transitividad, supongamos que $b\in X\subseteq A\setminus\{a,c\}$ queremos demostrar que si $X\cup\{a\}\in\mathscr{F}$ entonces $X\cup\{c\}\in\mathscr{F}$ Así pues, supongamos que $X\cup\{a\}\in\mathscr{F}$ . Sea $X_0=X\setminus\{b\}$ ; entonces los conjuntos de Velleman $X'$ y $X''$ vienen dadas por $X'=X_0\cup\{a\}$ y $X''=X_0\cup\{c\}$ .

Ahora $b,c\notin X'$ y $X'\cup\{b\}=X_0\cup\{a\}\cup\{b\}=X\cup\{a\}\in\mathscr{F}$ Así que $X'\cup\{c\}\in\mathscr{F}$ ya que $bRc$ . Ahora $X'\cup\{c\}=X_0\cup\{a\}\cup\{c\}=X''\cup\{a\}$ Así que $X''\cup\{a\}\in\mathscr{F}$ . Además, $X''\subseteq A\setminus\{a,b\}$ y $aRb$ Así que $X''\cup\{b\}\in\mathscr{F}$ . Finalmente, $X''\cup\{b\}=X_0\cup\{c\}\cup\{b\}=X\cup\{c\}$ y concluimos que $X\cup\{c\}\in\mathscr{F}$ , según se desee.