Mi verdadero análisis de libros de texto hace la siguiente declaración: un conjunto de números reales $S_1 = \{ s \in \mathbb{R} | s^2 < 2 \}$ tiene al menos un límite superior, como podemos demostrar que $sup S_1 = \sqrt{2}.$ Por otro lado, sostiene que la $S_2 = \{ s \in \mathbb{Q} | s^2 < 2 \}$ no tiene una sup. Ahora lo que no entiendo es, ¿por qué sup tienen que pertenecer al mismo campo (números racionales)? Es parte de su definición? Porque mi libro no especifica este requisito en la definición de supremum... $\sqrt{2}$ todavía funciona, pero simplemente no es un número racional, ¿por qué el límite superior tiene que ser racional? Un mínimo o un máximo (si existen) de un conjunto claramente tendría que ser, ya que en realidad pertenecen a la serie, pero tal tratamiento de supremum me deja perplejo.
Esto provoca una pregunta más de lo que si estoy dado un determinado conjunto de números, y todos ellos pasan a estar en la $\mathbb{Q},$ Y pidió buscar una sup, si es que existe. No buscar sólo racional sup, no un verdadero sup trabajar demasiado, ya que tenemos una contención de los racionales en reales, y el conjunto podría ser tratada como un conjunto de números reales, que sólo 'sucedió' ser racional?
Respuesta
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El hecho de que $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ son campos no entran en juego aquí; lo que importa es el conjunto, estamos buscando un supremum.
Dado un conjunto ordenado $T$, y un subconjunto $S$, el supremum de $S$ $T$ es el menor elemento de a $T$ que es mayor que o igual a cada elemento de a $S$. Es decir, $x=\sup(S)$ debe satisfacer
- $s\leq x$ todos los $s\in S$
- $x\leq y$ todos los $y\in T$ tales que (a$s\leq y$ todos los $s\in S$)
Ahora, dependiendo de lo $T$ es, un elemento de la satisfacción de estas propiedades pueden o no existir en $T$. Si tenemos en cuenta $S_2$ como un subconjunto de a $\mathbb{R}$, hay un supremum para $S_2$: es $\sqrt{2}$. O usted no ha mencionado, o el libro deja implícito, pero la demanda es que $S_2$ no tiene supremum cuando estamos pensando en como vivir en $\mathbb{Q}$, es decir,$S=S_2$$T=\mathbb{Q}$.
Supongamos que un número racional $r$ tiene la propiedad de que $s\leq r$ todos los $s\in S_2$. Si tuviéramos $r^2<2$,$t=2-r^2>0$, y para cualquier $t>0$ hay algo de $n\in\mathbb{N}$ tanto $\frac{t}{2}>\frac{1}{n^2}>0$$\frac{t}{2}>\frac{2}{n}>0$. Entonces tenemos $$(r+\tfrac{1}{n})^2=r^2+\tfrac{2}{n}+\tfrac{1}{n^2}<r^2+t=2,$$ por lo $r$ no puede ser un supremum para $S_2$ $\mathbb{Q}$ porque $r+\frac{1}{n}\in S_2$ pero $r+\frac{1}{n}\not\leq r$.
Por lo tanto, cualquier número racional $r$ tiene la propiedad de que $s\leq r$ todos los $s\in S_2$ debe también tienen la propiedad de que $r^2\geq 2$. Sabemos que la igualdad es imposible, como $\sqrt{2}$ es irracional, por lo que debemos tener ese $2<r^2$. Pero por un argumento similar, hay algunas $n\in\mathbb{N}$ tal que $2<(r-\tfrac{1}{n})^2$, por lo que el $r-\frac{1}{n}$ también tiene la propiedad de que $s\leq r-\frac{1}{n}$ todos los $s\in S_2$; pero $r-\frac{1}{n}<r$, lo $r$ no puede ser un supremum para $S_2$.
Por lo tanto, hemos demostrado que en realidad no existe, supremum para $S_2$, cuando se considera como un subconjunto de a $\mathbb{Q}$; de cualquier elemento de $\mathbb{Q}$ que es mayor que todo lo en $S_2$, podemos encontrar una estrictamente menor elemento de a $\mathbb{Q}$ con la misma propiedad.
De hecho, este argumento realidad muestra que no hay supremum para $S_2$ en cualquier densa subconjunto de $\mathbb{R}$ que falta en $\sqrt{2}$.
