Un conjunto no es semialgebraico

Question

Un subconjunto $A$ de $\mathbb R^n$ se llama semialgebraica si puede representarse como una unión finita de conjuntos de la forma \begin{equation*} \{x\in \mathbb R^n\; |\; p_i(x)=0, q_i(x)<0\; \mbox{for all }i=1, \ldots, m\}, \end{equation*} donde $p_i$ y $q_i$ para $i=1,\ldots, m$ son funciones polinómicas sobre $\mathbb R^n$ .

Sé que la proyección de un conjunto semialgebraico en $\mathbb R^{n+1}$ a $\mathbb R^n$ es también un conjunto semialgebraico (Teorema de Tarski - Seidenberg). Los ejemplos de conjuntos semialgebraicos parecen ser fáciles de encontrar, pero lo contrario parece ser más difícil. Intento demostrar que el siguiente conjunto $$A=\{(x,y)\in \mathbb R^2: y=\sin(x)\}$$ no es semialgebraico . Pero la dificultad es que no puedo demostrar que $A$ no puede ser de la forma anterior o no puede ser la proyección de cualquier conjunto semialgebraico en $\mathbb R^{3}$ .

¿Cómo puedo continuar?

Answer 1

Lema. Dejemos que $p\in\mathbb R[x,y]$ sea un polinomio y que $T\subset \mathbb R$ sea un conjunto infinito con un punto de acumulación $a$ . Supongamos que $p(t,\sin t)=0$ para todos $t\in T$ . Entonces $p$ es el polinomio cero.

Prueba. Porque $t\mapsto p(t,\sin t)$ es analítica, se deduce que $p(t,\sin t)=0$ para todos $t\in\mathbb R$ . Escriba $$p(x,y)=\sum_{k=1}^n x^kr_k(y)$$ con $r_k\in\mathbb R[y]$ . Para las instalaciones fijas $t\in\mathbb R$ el polinomio $$\sum_{k=1}^n r_k(\sin t)\cdot x^k\in\mathbb R[x]$$ tiene infinitos ceros, concretamente en $x=2n\pi+t$ con $n\in\mathbb Z$ por lo que debe ser el polinomio cero, es decir, todo $r_k(\sin t)=0$ . Entonces $r_k$ es idénticamente cero en $[-1,1]$ y por lo tanto es el polinomio cero. Así que en última instancia $p$ es también el polinomio cero. $_\square$

Supongamos ahora que $A=\{\,(x,\sin x)\mid x\in\mathbb R\,\}$ es semialgebraica. Cada punto $a\in A$ debe ser un punto de acumulación para uno de los conjuntos finitos $\{\,x\in\mathbb R^2\mid p_i(x)=0, q_i(x)<0,1\le i\le m\,\}$ tomamos la unión de. Por el lema, todos los $p_i$ debe ser cero y puede ser ignorado, es decir, $a$ es un punto de acumulación de $\{\,x\in\mathbb R^2\mid q_i(x)<0,1\le i\le m\,\}\subseteq A$ . En otras palabras, $A$ contiene un conjunto abierto no vacío, contradicción.