Teorema de aproximación de Dirichlet (versión simultánea): prueba a través del teorema de Minkowski

Question

Hay una prueba del teorema de aproximación de Dirichlet basado en el teorema de Minkowski. La prueba se da en wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_approximation_theorem ) y es bastante simple. Ellos afirman que naturalmente se extiende a la prueba de la versión simultánea del teorema. No veo muy bien cómo.

Gracias por ayudar.

Answer 1

El volumen de S $$ = \ {(x, y_1, \dots, y_d) \in \mathbb{R}^{1+d}; -N-\frac {1} {2} \le x \le N + \frac {1} {2}, | \alpha_i x - y_i | \le \frac{1}{N^{1/d}} } $$

$Vol(S) = 2N\cdot \prod_{i=1}^{d} \frac{2}{N^{1/d}} = 2^{d+1}$ por lo tanto, puede aplicar el teorema de Minkowski y encontrar un punto en S con coordenadas del número entero. Ese punto es la aproximación.