¿Es la función $xy-(\sin{y})(\sin{x} +2y)$ no positivo cerca de $(0,0)$ ?

Question

Como en el título es la función $f(x,y)=xy-(\sin{y})(\sin{x} +2y)$ no positivo cerca de $(0,0)$ ?

El wolframio afirma que - ver la trama(sin(x)%20%2B2y)%3C%3D0) . Por otro lado, se puede argumentar lo siguiente. Elija un pequeño y arbitrario $x>0$ desde $x> \sin x$ se puede encontrar $y>0$ lo suficientemente pequeño como para tener $x> \sin x +2y$ ya que también $y> \sin y$ un caballete consigue $xy \ge(\sin{y})(\sin{x} +2y)$ y wolfram confirma que también para algunos números concretos - ver esto*%20(sin(1%2F1000)%20%2B2%2F100000000000000)) . ¿Qué me falta? Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Si se expande como serie Taylor alrededor de $x=0$ $$A=x y-\sin (y) (\sin (x)+2 y)=-2 (y \sin (y))+x (y-\sin (y))+\frac{1}{6} x^3 \sin (y)+O\left(x^4\right)$$ Realizar otra ampliación de la anterior en torno a $y=0$ para obtener por $y << x$ $$A\approx \frac 16 x^3 y$$ que coincide con el número de la segunda tirada.

Usando, como en la segunda carrera, $x=10^{-3}$ y calculando con una precisión ilimitada, lo que podemos notar es que $A >0$ tan pronto como $y < 10^{-11}$ .

Answer 2

Reclamación. La función $f$ toma ambos signos en la vecindad de $(0,0)$ .

Prueba. Considere el retroceso de $f$ a lo largo de la curva $y=x^4$ es decir, la función $$\eqalign{g(x)&:=f(x,x^4)=x^5-\sin(x^4)(\sin x + 2 x^4)\cr &=x^5-\left(x^4-{x^{12}\over 6}+?x^{20}\right)\left(x-{x^3\over6}+2x^4+?x^5\right)\cr &={x^7\over6}+?x^8\qquad(x\to0)\ ,\cr}$$ donde el $?$ actúa como standin para varias funciones que son analíticas cerca de $x=0$ . De ello se desprende que $${\rm sgn}\bigl(g(x)\bigr)={\rm sgn}(x)\qquad (x\to0)\ .$$

Answer 3

Considerando el límite desde todos los lados Lo tienes, $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \lfloor xy-\sin y (\sin x +2y)\rfloor = 0$$

Lo que indica el hecho de que, $$\lim_{(x,y)\to (0,0) } f(x,y) \to 0^{+}$$

Por lo tanto, La función es positiva cerca del punto dado.