Estaba clasificar a todos los grupos de orden 30 y conseguí los siguientes grupos
$\langle a,b \mid b^{-1}ab=a^4, a^{15}=b^{2}=1\rangle$ y $\langle a,b \mid b^{-1}ab=a^{11}, a^{15}=b^{2}=1\rangle$.
¿Cómo puedo demostrar que estos grupos son isomorfos a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times D{10}$ y $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times D{6}$? Gracias!.
Para el primero de ellos, que $H = C3 \times D{10} = \langle x \rangle \times \langle y,z \rangle$ $|x|=3$, $|y|=5$, $|z|=|yz|=2$.
Compruebe que #% el %#% y $(xy)^{15} = z^2=1$. Deducir que existe un homomorfismo h $z^{-1}(xy)z = (xy)^4$ $\phi:G \to H$, $\phi(a)=xy$.
Mostrar que $\phi(b)=z$ y deducir $H = \langle xy,z \rangle$ es sobreyectiva.
Utilizar las relaciones de $\phi$ que $G$ y deducir que $|G| \le 30$ es inyectiva y por lo tanto un isomorfismo.
El segundo es similar.
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