Imagen de notación de definición de función

Question

En mi libro de texto de álgebra Linear y geometría, define la imagen de una transformación lineal $T$ como:

$$\operatorname{Im}\, (T) := {\; w \in W : \; w=Tv \;\;\text{ for some } v \in V }$$

Como puedo ver, se trata de justo lo mismo que:

$$\operatorname{Im} \, (T) := { \;Tv \in W : \;v \in V}$$

¿Hay alguna diferencia en estas definiciones?

Si no, ¿por qué se utiliza la primera de ellas?

Answer 1

Cada declaración define la imagen de la aplicación lineal tranformation, acaban de dar formas diferentes de describir exactamente el MISMO conjunto: la imagen de $T$.

Cada definición de los usos Set-Generador de Notación: notación que nos permite describir cualquier conjunto dado de elementos en cualquier número de formas, y/o a partir de diferentes perspectivas o para diferentes propósitos. E. g.:

• Deje $E_1 = \{\; 2k | k \in \mathbb{Z}\;\}$;
  Deje $E_2 = \{\;n \in \mathbb{Z} \mid n\equiv 0 \pmod{2}\};$
  Deje $E_3 = \{\;n \in \mathbb{Z} : 2\mid n\;\}$.
  
  Cada uno de $E_1$, $E_2$, y $E_3$ cada uno de definir el mismo conjunto de incluso enteros. No es sólo un conjunto definido; que la definición que uno elige depende del contexto.

De regreso a sus dos definiciones:

1. La primera definición de los estados "El conjunto de todos los elementos de la $w \in W$ tal que $w$ es el valor de $Tv$ donde $v$ en algún elemento en el dominio $V$."
2. El segundo define el conjunto de todos los valores de la función de $Tv$ que terminan en $W$ después $v \in V$ es transformado por $T$".

Si ambos definen el mismo conjunto, como lo hacen, entonces ¿por qué usar la primera?

La primera se utiliza a menudo para establecer, por ejemplo, surjectivity de una función de $f: V\to W$. Si $f$ a, entonces para cada a $w \in W$, existe un $v\in V$ tal que $f(v) = w.$, por Lo que no es raro que para definir la imagen de una función que está definida en el primer caso.

Answer 2

Ambas definiciones son las mismas que usted señala, sólo dan ligeramente diferentes maneras de pensar acerca de la imagen.

La primera definición considera la imagen como "Cosas en $W$ alcanzado por la función". El segundo toma un enfoque más constructivo, es decir que podemos construir la imagen tomando cada elemento del $V$ y poner el resultado después de aplicar el $T$ a ella en la imagen.

Answer 3

En ciertos sentidos teoría de conjuntos, el primero $$ \ {\; w \in W: \; w = Tv \;\;\text {para algunos} v \in V } $es exactamente lo que obtienes por el axioma de la separación, mientras que el segundo$ \ {\; TV \in W: \;v \in V} $ es tomado como una forma de taquigrafía de la escritura. Así que quizá el autor pensó que el primero de ellos sería menos confuso a algunos estudiantes.