Mostrando $f\in L^\infty$ en un espacio de medida finita

Question

Estoy estudiando para un examen de calificación, y me parece que tienen problemas de trabajo de dificultad que implican $L^p$-espacios. ¡Una explicación para el siguiente problema sería muy útil!

Que $(X, \Sigma, \mu)$ ser un espacio de medida finita y que $f$ una función mensurable real-valued en $X$. Demostrar que $f\in L^\infty(\mu)$ si y sólo si cada $f\in L^p(\mu)$$1

Creo que si $f\in L^\infty(\mu)$, entonces tiene $$||f||_p \leq \left( \intX ||f||\infty^p d\mu \right)^{1/p} = ||f||_\infty \mu(X)^{1/p}

Answer 1

Si $\mu(X) \le 1$, $\mu(X)^{1/p} \le 1$. Si $\mu(X) > 1$, $\mu(X)^{1/p} \le \mu(X)$.

Para la otra dirección, suponga $f \notin L^\infty$. Entonces cada $N$ allí es un conjunto de $A$ $\mu(A) > 0$ tal que $|f| > N$ $A$. $\int |f|^p \; d\mu \ge N^p \mu(A)$ Y $|f|_p \ge N \mu(A)^{1/p}$. Tomar $p$ grande bastante que $\mu(A)^{1/p} > 1/2$...

Answer 2

Tienes razón en el hecho de que si $f\in L^\infty$ luego de $$\|f\|_p\leq\|f\|_\infty\mu(X)^{1/p}\quad\forall p>1$$ and from this you get that $f$ is in $L^p$ for all $p>1$ and all the p-norms have the same bound! Basically $\sup_p\|f\|_p<\|f\|_\infty\mu(X)$ because $\mu(X)^{1/p}<\mu(X)$ forall $p>1$ if $\mu(X)>1$ or $\sup_p\|f\|_p<\|f\|_\infty$ if $\mu(X)<1$.

De la otra manera se sigue la misma lógica y el uso de Titular de la desigualdad para obtener $$\|f\|_p=(\int_x |f|^p\cdot 1\, \mathrm{d}\mu)^{1/p}\leq \|f\|_q (\mu(X))^{1/p}$$ Básicamente decir que si sustituimos $\mu$ $\nu=\mu/{\mu(X)}$ para obtener una medida de probabilidad $\nu$ ($\nu(X)=1$), la norma es una creciente y función continua en p convergentes a $\|f\|_\infty$ si $f$ está delimitado una.e.. Así que si pedimos que la recopilación de todas las normas, es limitado en algunos $f$ $f$ es $L^\infty$ y representa el límite para el supremum. (es decir,$\lim_{p\to\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty$)