Preguntas sobre la prueba de Rickards que $D^b_\mathtt{sg}(A) \equiv \mathtt{stmod}(A)$

Question

Preparado:

Dejemos que $A$ sea un álgebra auto-inyectiva (así que proyectiva = inyectiva para módulos) y sea $D^b(A)$ y $K^b(A)$ sea la categoría derivada acotada y la subcategoría completa formada por los complejos perfectos (complejos cuyos módulos son todos proyectivos). La categoría de singularidad se define como el cociente $D^b_\mathtt{sg}(A) = D^b(A)/K^b(A)$ .

Siguiente $\mathtt{stmod}(A)$ sea la categoría de módulo estable. Esta es la categoría cuyos objetos son homomorfismos y cuyos mapas son homomorfismos de módulo, módulo que se factoriza a través de un proyectivo.

Pregunta:

En su artículo "Derived categories and stable equivalence" Jeremy Rickard demuestra que la categoría de módulos estables y la categoría de singularidad son equivalentes. El functor $$F\colon\mathtt{stmod}(A) \to D^b_\mathtt{sg}(A)$$ envía un módulo $M$ al complejo que es $M$ en grado $0$ y $0$ en todas las demás titulaciones. Mi pregunta es sobre la prueba de Rickards. Él primero demuestra que $F$ es exacta y completa. Eso es fácil. Mi problema es cuando muestra que $F$ es fiel y denso. Primero fiel, escribe:

Supongamos que $\alpha\colon X \to Y$ es un mapa para el que $F\alpha = 0$ y supongamos que $\alpha$ se sienta en un triángulo $X \to Y \to Z \to$ entonces la identidad de $FY$ factores a través de $FY \to FZ$ Así que, como $F$ está lleno, hay un mapa $\beta\colon Y \to Y$ , factorizando a través de $Y \to Z$ , de tal manera que $F\beta$ es un isomorfismo. Pero entonces el cono de mapeo de $\beta$ es enviado a cero por $F$ Así que $\beta$ es un isomorfismo, por lo que $Y \to Z$ es un monomorfismo de división y $\alpha$ es cero.

Tal vez estoy entendiendo mal lo que quiere decir con el factor de identidad a través de $FY \to FZ$ . ¿No podemos tomar $\beta$ para ser la identidad en $Y$ ? Y el cono de mapeo es un complejo, así que ¿cómo podemos aplicar el functor $F$ a ella?

Mi segunda pregunta es sobre cómo demuestra que $F$ es denso. Dice que un objeto $$M^\ast = 0 \to M^r \to \cdots \to M^s \to 0$$ de $D^b_\mathtt{sg}(A)$ puede representarse como un complejo de proyectivas $$P^\ast = \cdots \to P^r \to P^{r + 1} \to \cdots \to P^s \to 0$$ tal que $P^\ast$ tiene homología cero en grados menores que $r$ . Ahora puedo construir un mapa de complejos de cadenas $P^\ast \to M^\ast$ que es un cuasi-isomorfismo, pero menor que el grado $r$ es una resolución proyectiva que no necesariamente termina. Si no es un complejo de cadena acotado, ¿cómo puede ser un elemento de $D^b(A)$ ?

Answer 1

$\require{AMScd}$ La factorización por la que preguntas es un ejemplo del lema "los triángulos distinguidos son como las secuencias exactas".

A saber, el axioma sobre la existencia de morfismos produce que en un triángulo distinguido \begin{CD} X @>u>> Y @>v>> Z @>w>> X[1] \end{CD} $v$ es un cokernel débil de $u$ . Porque si $f \colon Y \to W$ es un morfismo tal que $fu = 0$ este axioma produce un diagrama conmutativo \begin{CD} X @>u>> Y @>v>> Z @>w>> X[1] \\ @V{}VV @VVfV @VVgV @VVV \\ 0 @>>> W @>1>> W @>>> 0 \end{CD} para que $f = gv$ para un no único morfismo $g$ .

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Rickard explica brevemente cómo construir un triángulo distinguido sobre cualquier morfismo en $\operatorname{\mathtt{stmod}}(A)$ . Tome un representante $\alpha \colon X \to Y$ en $\operatorname{\mathtt{mod}}A$ y elija una inyección $i \colon X \to I$ en un inyectivo (no es necesario que $I$ sea el casco inyectivo de $X$ ). Tome el push-out bajo $\alpha$ y $i$ (en $\operatorname{\mathtt{mod}}A$ ) para obtener el diagrama \begin{CD} A @>i>> I @>>> \Sigma A \\ @V\alpha VV @V\alpha'VV @| \\ B @>\beta>> C @>\gamma>> \Sigma A \end{CD} donde $\Sigma X$ es el cokernel de $i$ . Por definición de la triangulación en la categoría estable, la imagen de $X \xrightarrow{\alpha} Y \xrightarrow{\beta} Z \xrightarrow{\gamma} \Sigma X$ es un triángulo distinguido en $\operatorname{\mathtt{stmod}}(A)$ .

Desde $F$ es un functor exacto, obtenemos un triángulo distinguido \begin{CD} FX @>F\alpha>> FY @>F\beta>> FZ @>>> FX[1] \end{CD} en $D^{b}_{\mathtt{sg}}(A)$ .

Si asumimos que $F\alpha = 0$ y aplicando la propiedad de cokernel débil de $F\beta$ a $1_{FY} \colon FY \to FY$ encontramos un morfismo $g \colon FZ \to FY$ tal que $g F\beta = 1_{FY}$ . Desde $F$ está lleno, $g = F\epsilon$ para algún morfismo $\epsilon \colon Z \to Y$ . Ahora observe que $F(\epsilon\beta) = 1_{FY}$ y el cono de $1_{FY}$ es cero. Esto significa que el cono $C$ de $\epsilon \beta$ en $\operatorname{\mathtt{stmod}}A$ (construido como $Z$ arriba) se envía a cero por $F$ . Rickard argumentó anteriormente que esto sólo ocurriría si $C$ es proyectiva, por lo que $\epsilon\beta$ es un isomorfismo. En otras palabras, $Z$ es isomorfo a $Y \oplus \Sigma X$ y $\beta$ es isomorfo a la inclusión de $Y$ en el primer sumando de $Y \oplus \Sigma X$ . Reformulando de nuevo, el triángulo $X \xrightarrow{\alpha} Y \xrightarrow{\beta} Z \xrightarrow{\gamma} \Sigma X$ es isomorfo a la suma de los dos triángulos distinguidos $0 \to Y \xrightarrow{1} Y \to 0$ y $0 \to 0 \to \Sigma X \xrightarrow{1} \Sigma X$ para que $\alpha$ debe ser cero.

Este argumento establece que sólo el morfismo cero es enviado a cero y esto es decir que $F$ es fiel.

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El punto sobre la subjetividad esencial (densidad) de $F$ se resuelve observando que $D^b(A)$ es equivalente a la subcategoría completa de complejos que son acíclicos en el extremo izquierdo y en el extremo derecho, es decir, en grados $|n| \gg 0$ .

Esto se explica cuidadosamente, pero de forma muy concisa, en la sección 11 de la maravillosa obra de Keller Manual de Álgebra artículo Categorías derivadas y sus usos .

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Si necesita más información sobre las categorías estables, creo que es difícil superar la claridad de la exposición original de Happel en el capítulo I de Categorías trianguladas en la teoría de la representación de álgebras de dimensión finita .

Answer 2

La identidad de $FY$ factoring a través de $FY\to FZ$ debería significar que hay un triángulo conmutativo tal que los catetos son $FY\to FZ\to FY$ y la base es $FY\stackrel{\operatorname{id}_Y}{\to} FY$ . Así que en realidad sólo significa $FY\to FZ$ tiene un inverso a la izquierda. Dado esto, ¿no es evidente que no hay ninguna razón en general para $\operatorname{id}:Y\to Y$ para que sea un factor a través de $Y\to Z$ ? Me temo que no veo donde entra un cono de mapeo: Estoy escribiendo esto sin entender todo lo que estáis escribiendo, así que es muy posible que me equivoque.

No creo que pueda ayudarte con tu segunda pregunta, ya que aún no he estudiado mucho las categorías derivadas.