Teoría: prueba de establecer identidades

Question

Supongamos que tenemos cuatro conjuntos A, B, C y X.

Cómo puede uno demostrar la siguiente identidad:

$(A \cap B \cap C \cap \neg X) \cup ( \neg A \cap C) \cup ( \neg B \cap C) \cup (C \cap X)=C$

Traté de aplicar cualquiera de las identidades básicas de conjunto como o pero me llevó a nada.

Cualquier ayuda sería apreciada, entonces.

Answer 1

Prahlad Vaidyanathan sugerencia en los comentarios es probablemente la forma más fácil de ir, pero una prueba algebraica es ciertamente posible. Primera nota de que $$(\neg A\cap C)\cup(\neg B\cap C)=(\neg A\cup\neg B)\cap C$$ by one of the distributive laws. Then $C\cap X=X\cap C$, y

$$\big((\neg A\cup\neg B)\cap C\big)\cup(X\cap C)=\big(\neg A\cup\neg B\cup X\big)\cap C$$

por uno de los distributiva leyes. Por lo tanto, el original del lado izquierdo es igual a

$$(A\cap B\cap C\cap\neg X)\cup\big((\neg A\cup\neg B\cup X)\cap C\big)\;.\tag{1}$$

Ahora uso uno de los De Morgan leyes y el hecho de que $\neg(\neg Y)=Y$ a ver que

$$\neg A\cup\neg B\cup X=\neg(A\cap B\cap\neg X)\;,$$

de modo que $(1)$ es igual a

$$\Big((A\cap B\cap\neg X)\cap C\Big)\cup\Big(\neg(A\cap b\cap\neg N)\cap C\Big)\;,$$

y el uso de una ley distributiva para sacar el $C$ y obtener

$$\Big((A\cap B\cap\neg X)\cup\neg(A\cap B\cap\neg X)\Big)\cap C\;.\tag{2}$$

Por último, utilice el hecho de que $Y\cup\neg Y$ es el conjunto universal, que voy a llamar a $U$, por lo que el $(2)$ $$U\cap C=C\;.$$