Deje $X=\left\{0,1,2\right\}^{\mathbb{Z}}$ y en la siguiente dinámica descrita por $T\colon X\to X$ como sigue: 1 se convierte en 2, 2 se convierte en un 0 y un 0 se convierte en un 1 si al menos uno de sus dos vecinos es 1.
Además, se debe considerar $$ Y=\bigcap_{n=1}^{\infty}T^n(X). $$
Declaración de probar:
$\eta\in X$ $Y$ si y sólo si existe $n\in\mathbb{Z}\cup\left\{-\infty,\infty\right\}$, tal que:
Condición que: A $n$ y a la izquierda en $n$, cada 1 tiene un 2 a su izquierda, cada 2 tiene un 0 a la izquierda, y cada 0 tiene un 0 o un 1 a su izquierda.
Condición II: el derecho de $n$, cada 1 tiene un 2 a su derecha, cada 2 tiene un 0 a su derecha y a cada 0 tiene un 0 o un 1 a su derecha.
Aquí es lo que he intentado. Por favor, eche un vistazo a esto y dime, si está bien o no.
Prueba
"$\Longleftarrow$": Deje $\eta\in X$, con el correspondiente $n$ el cumplimiento de las condiciones de la declaración. Mediante el siguiente procedimiento, se puede ver que $\eta\in Y$: Primero desarrollar las posiciones n y n+1 infinitamente a menudo, un 1 para un 0, 2 consiguiendo un 1 y un 0 resto 0.
A continuación, para cada paso de vuelta de las posiciones de izquierda a $n$ y el derecho a la $n+1$, acaba de hacer el desplazamiento de izquierda y derecha-shift, respectivamente.
Ejemplo: Let | separar las $n$-ésimo de la $(n+1)$-ésima posición.
$$ 10021/2001 $$
Paso 1: $$ 10021/2001\\ 0/1 \\ 0/0 \\ 0/0 \\ \text{etc} $$
Paso 2: Llenar otros vacíos por el desplazamiento de izquierda y derecha-shift, respectivamente: $$ \ldots 10021/2001\ldots\\ 00210/1200\\ 02100/0120\\ 21000/0012\\ \text{etc} $$
Esto demuestra que $\eta\in Y$.
"$\Longrightarrow$": Deje $\eta\in Y$. Por $\eta(x)$ denotar la posición $x$$\eta$.
W. l.o.g. deje $\eta(x)=1$. En particular, $\eta\in T(X)$. Existen las siguientes posibilidades de la izquierda y la derecha vecinos de $\eta(x)=1$ (donde $\eta(x)=1$ se supone que para estar de pie en el centro):
- 012
- 212
- 210
- 112
- 211
Tome Caso 1: 012 de modo ejemplar-
Cuando desarrollamos $012$ un paso atrás, tenemos dos posibilidades (que es, tenemos al menos dos pre-imágenes) para hacerlo: $$ 012\\ 201 $$ o $$ 012\\ 001 $$ Elegir la primera posibilidad. Entonces, cuando desarrollamos esta al revés, se obtiene el siguiente esquema: $$ \ldots\estrella 0120\estrellas\ldots\\ \ldots\estrella 020120\estrellas\ldots\\ \ldots\estrella 02100120\estrellas\ldots\\ \ldots\estrella 0210\estrellas\estrella 0120\estrellas\ldots\\ \ldots\estrella 0210\estrellas\estrellas\estrella 0120\estrellas\ldots\\ \text{etc} $$ Elija el $\star$'s dentro de la "pyramide" todos los ser $0$.
Para el $\star$'s de la izquierda, si se elige uno de los ser$1$, entonces todo tiene que ser $1$. Si se elige uno de los ser $0$, entonces todo tiene que ser $0$'s. A la izquierda de las estrellas de la izquierda, no $1$s ,$2$'s y $0$'s sólo puede aparecer como Condición I de la declaración dice.
El mismo tiene para la $\star$'s a la derecha. Si se elige uno de los ser $1$, todos se $1$'s. Y si se elige uno de los ser $0$, todos se $0$'s. A la derecha de la $\star$'s en el lado derecho, se $1$s, $2$'s, y $0$'s sólo puede aparecer como Condición II de la declaración que desea que aparezcan.
Así que en este caso, podemos elegir el$n$$x$.
El resto de los casos funcionan de manera similar. Es decir, en caso de que se inicie con la vecindad $112$ (de nuevo, $\eta(x)=1$ en el medio), podemos optar $n$$x-1$. Para los otros casos, podemos elegir por $n=x$, también, como en el caso 1.
(Comentario: a Partir de $\eta(x)=1$ como acabamos de hacer es w.l.o.g. porque si empezamos con un $2$, hay un $1$ en la fila antes, y podemos elegir el $n$ como en la correspondiente partida con un barrio de 1 debido a que el desarrollo hacia adelante no cambia el orden deseado de $0$s, $1$'s y $2$'s como Condición I y la Condición II quiere que aparezcan. Si empezamos con un $0$ entonces siempre tenemos una $0$ antes de cada una de las $0$ y podemos elegir el $n$ a ser cualquier número en $\mathbb{Z}$, o en algún momento hay un $2$ $0$ y, a continuación, una $1$ antes de esto $2$ y podemos volver a elegir el $n$ como en la correspondiente neighborhoud de $1$.)
Por último, si tenemos un $y\in Y$ consta de $0$s, $1$'s y $2$' de tal forma que hay un $2$ a la derecha (izquierda) de cada 1, $0$ a la derecha (izquierda) de todos los $2$ $0$ o $1$ a la derecha (izquierda) de todos los $0$, se puede elegir $n=+\infty$$n=-\infty$, respectivamente.
$\Box$
Realmente espero obtener una respuesta de su parte, porque yo no necesita esta declaración en un proyecto y lo que realmente necesita una prueba. Te di mi prueba y la esperanza de obtener una respuesta de usted. Muchas gracias!
Los mejores deseos
math12
