Confusión en Trigonometría

Question

Estaba haciendo un poco de trigonometría, como lo he estado haciendo durante un par de años y de repente me di cuenta de que realmente no entiendo las funciones trigonométricas, en absoluto.

Primero aprendes las funciones trigonométricas básicas así:

$$\sin(x) = \dfrac{o}{h}$$

$$\cos(x) = \dfrac{a}{h}$$

$$\tan(x) = \dfrac{o}{a}$$

Donde $x$ es un ángulo y $o, a, h$ son los lados opuesto, adyacente e hipotenusa respectivamente.

Pero me di cuenta de que no entiendo realmente qué significan las funciones trigonométricas realmente, y especialmente por qué en nombre de Dios funcionan. Esta realización llegó cuando tuve que representar las funciones $y=\sin^2(x)$ y quedé atónito; ¿qué exactamente estoy elevando al cuadrado? ¿Y por qué tienen las funciones trigonométricas una parte debajo del eje x? ¿Por qué son periódicas?

¿Hay alguna manera de entender estas funciones de forma intuitiva?

Answer 1

Como ejemplo, la definición que estás utilizando para $\sin$ es:

$$\sin\theta=\frac{o}{h}$$

Creo que tu confusión proviene del hecho de que el ángulo $\theta$ no está mencionado en el lado derecho de esta ecuación, lo que significa que si solo se te da el ángulo, no está claro cómo calcular el $\sin$ (¿porque qué son $o$ y $h$?). La idea es que imagines un triángulo rectángulo donde un ángulo tiene $\theta$, y luego $\sin\theta$ es igual a $\frac{o}{h}$ aplicado a los lados de ese triángulo. "Pero espera, ¿cómo sé que estoy imaginando el triángulo 'correcto'?" Esa es la cuestión, no importa. Mientras el ángulo $\theta$ sea el mismo, la proporción $\frac{o}{h}$ siempre será la misma. Eso justifica definir el $\sin$ en términos de un triángulo, en lugar de directamente en términos de un ángulo.

Dicho eso, las definiciones triangulares que te dieron en la secundaria son terribles definiciones para las funciones $\sin$ y $\cos$. Algunos de los problemas son:

1. Solo funcionan para ángulos $< 90^\circ$. No puede haber ángulos oblicuos en un triángulo rectángulo, por lo que no se puede hablar de una hipotenusa.
2. Cuando trabajas con coordenadas polares, tienes que hacer visualizaciones complicadas, superponiendo triángulos sobre todo en tu cabeza para entender de dónde vienen las fórmulas.
3. Obnubilan la relación entre $\sin\theta$ y el ángulo $\theta$.
4. No está claro por qué vale la pena estudiarlas. ¿A quién le importan las razones de los lados en triángulos rectángulos?

Estas definiciones me causaron mucha confusión hasta finales de la secundaria, cuando de repente me di cuenta de que había otras definiciones disponibles. La mejor definición para las matemáticas de la secundaria es la siguiente (es casi la misma que la dada por Shahab, solo explicada de una manera diferente).

Supongamos que tienes un ángulo de $\theta$ sobresaliendo desde el horizonte hacia el cielo. Extiendes un segmento a lo largo de este ángulo, de longitud $r$.

Y ahora quieres saber cuál es la altura y la anchura de este segmento ($y$ y $x$ en el diagrama). Resulta que no hay una fórmula fácil para esto, por lo que los matemáticos simplemente definen nuevos símbolos $\sin\theta$ para la altura, y $\cos\theta$ para la anchura. En realidad, estaba simplificando un poco. Puedes imaginar que los valores de $y$ y $x$ no solo dependen del ángulo $\theta$. Si haces que $r$ sea más largo, tanto $x$ como $y$ se harán más grandes, pero $\theta$ no cambiará. Entonces, para tener eso en cuenta, el $\sin$ en realidad se define como el valor $\frac{y}{r}$, y de manera similar para $\cos$. Con suerte puedes ver que estos valores solo dependen de $\theta$. Si mantienes $\theta$ igual pero, digamos, doblas $r$, entonces $y$ también se duplicará, por lo que la proporción $\frac{y}{r}$ seguirá siendo la misma.

Si piensas en el triángulo formado por los segmentos $x$, $y$ y $r$ en el diagrama, puedes ver que $r$ es la hipotenusa, $x$ es el lado adyacente y $y$ es el lado opuesto, por lo que vuelves a la antigua definición triangular. La diferencia es que ahora tienes una definición que también se aplica a ángulos mayores a $90^\circ$

Ahora puedes explicar fácilmente por qué las funciones trigonométricas tienen una parte debajo del eje $x$. Cuando el ángulo es mayor que $180^\circ$ pero menor que $360^\circ$, ¿hacia dónde apuntará el ángulo? Apuntará hacia abajo, por lo que la "altura" del ángulo será negativa, por lo tanto $\sin$ será negativo. ¿Por qué son periódicas? Porque cuando el ángulo llega a $360^\circ$, es como si volvieras a un ángulo de $0$ nuevamente. Mira la animación en la respuesta de robjohn para una gran visualización.

Answer 2

$(\cos(\theta),\sin(\theta))$ es la posición del punto en el círculo unitario cuyo ángulo (medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde la derecha) es $\theta$.

$\hspace{3.5cm}$

Observa cómo cada una cambia de signo (y color) y se repite cada $2\pi$.

Answer 3

Hay varias formas de darle significado a $\sin$. Aquí hay un par:

$$\sin(x):=\sum \limits_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\right),\text{ para todo }x\in \Bbb R.$$

También se puede definir como la extensión periódica de la extensión natural de la inversa de $\arcsin\colon [-1,1]\to [-\pi /2,\pi/2]$ a $[-\pi, \pi]$, esto por supuesto requiere una definición de $\arcsin$. Se puede definir como $\displaystyle x\mapsto \int \limits _{-1}^x\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx-\dfrac \pi 2$, para todo $x\in [-1,1]$.

Answer 4

Aquí hay una forma de definir la función $\sin$ (y por extensión todas las otras funciones trigonométricas). Toma un círculo en el plano cartesiano cuyo radio es 1 y cuyo centro es $(0,0)$. Comenzando con el punto $(1,0)$ imagina que hay una hormiga colocada en él, la cual está restringida a moverse solo en el círculo. Para $x\ge 0$ definimos $\sin x$ como la coordenada y del punto al que la hormiga ha llegado después de viajar una distancia $x$ en sentido contrario a las manecillas del reloj. Para $x<0$ es la coordenada y a la que llega la hormiga al viajar en sentido de las manecillas del reloj.

Sería un ejercicio interesante para ti ver cómo esta definición concuerda con la que has leído. (Pista: Piensa en triángulos semejantes). Cómo esta definición es equivalente a la definición en serie infinita en otra respuesta tiene que ver con el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales.

Con esta definición también es claro por qué en $[0,2\pi)$ los valores de $\sin$ son negativos después de que la hormiga ha recorrido una distancia de $\pi$ (ya que entonces las coordenadas y comienzan a volverse negativas) y por qué $\sin$ se repite después de $2\pi$ (porque la hormiga simplemente está rehaciendo su camino).

Una lógica similar con la hipérbola en lugar del círculo lleva a las funciones hiperbólicas.

Answer 5

Imagina un pequeño objeto que está fijo en el borde de una platina giratoria, y la platina se hace girar en sentido antihorario a una velocidad constante de un radián por unidad de tiempo. Imagina que, mirando hacia abajo en la platina, se establece un sistema de coordenadas de manera que el centro de la platina se coloca en el origen, y que el objeto comienza en el punto con coordenadas $(1, 0)$. Entonces la función seno mide la coordenada $y$ del objeto en función del tiempo a medida que la platina gira, y la función coseno mide la coordenada $x$. Puedes ver que en varios momentos el objeto estará "debajo" del centro u origen (tendrá una coordenada $y$ menor que $0$); esto es donde el seno $\sin(t)$ es negativo. De manera similar, en momentos en los que el objeto esté a la izquierda del centro, el coseno $\cos(t)$ es negativo.

No es una mala idea practicar visualizando esto de varias maneras hasta que el gráfico de la función seno se vuelva intuitivamente claro. Por ejemplo, imagina que una pelota está fijada en el borde de una placa muy delgada, y desde detrás de una cámara se sostiene la placa y se observa de canto, de modo que se ve como un segmento de línea vertical. Nuevamente la placa se hace girar a una velocidad constante, y una luz desde directamente detrás de la cámara se enciende para que la bola proyecte una sombra en la pared (y la sombra de la placa es una línea vertical delgada como antes). Entonces la sombra de la bola parece que está subiendo y bajando rectamente. Ahora imagina todo el conjunto (luz, cámara, placa y bola) moviéndose hacia la derecha a velocidad constante, mientras una segunda cámara registra la trayectoria de la sombra de la bola en la pared. Esa trayectoria asumirá la forma de una curva de seno.

Las funciones trigonométricas a menudo se llaman funciones circulares porque miden el movimiento circular uniforme de esa manera.