"Converse" de $P\rightarrow(Q\rightarrow R)$

Question

Como todos saben, incluso cuando la lectura de libros de matemáticas, un párrafo escrito en lenguaje natural contiene mucha más información de la que sus puramente lógico de la traducción. Para mi próxima tutor de la sesión, estoy planeando para demostrar las diferencias por mostrar que, ¿qué es exactamente el opuesto de un teorema con la forma lógica de $P\rightarrow(Q\rightarrow R)$ depende de cómo es en realidad formuladas.

Cuando se considera un teorema de la forma $P\rightarrow(Q\rightarrow R)$, si consideramos que cada letra sea una caja negra, luego la 3 posibles conversos son:

• $(Q\rightarrow R)\rightarrow P$

• $P\rightarrow(R\rightarrow Q)$

• $R\rightarrow(P\wedge Q)$

Me gustaría 3 ejemplos de teorema, cada uno de los cuales tiene que ser un teorema (es decir. demostrado) que en virtud de la norma de traducción de la lógica tendrá la forma $P\rightarrow(Q\rightarrow R)$ tales que: y su prueba debe ser entendido fácilmente por laico, es comúnmente expresado en una manera que sugiera una de las converse de arriba, que contrario también es un teorema, pero los otros 2 conversa son falsas o incluso sin sentido. Obviamente, el 3 ejemplos deben tener diferente tipo de corregir conversar entre los 3 mencionados anteriormente. Tenga en cuenta que a pesar de decir que el teorema se debe tener la forma lógica de $P\rightarrow(Q\rightarrow R)$, ciertamente contiene variables libres: como de costumbre, variables libres son implícitamente bajo la cuantificación universal.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Aquí están los tres en el orden de las viñetas anteriores. Tenga en cuenta que los cuantificadores no causa problemas, especialmente en el #1, pero creo que estos cumplen con el espíritu de la pregunta. No estoy seguro de que son accesibles a un laico, aunque.

1. Si $A$ es un conjunto cerrado de los números reales, entonces si $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $A$$\lim x_n$$A$. Converse: Si cada secuencia de Cauchy en un conjunto de números reales $A$ converge a un punto en el conjunto de $A$, entonces el conjunto $A$ es cerrado.

2. Si $X$ es un espacio métrico, a continuación, si $X$ es completo y totalmente acotado, a continuación, $X$ es compacto. Converse: Si $X$ es un espacio métrico, a continuación, si $X$ es compacto, a continuación, $X$ es completo y totalmente acotado.

3. Si $X$ es un infinito compacto metrizable espacio, a continuación, si $X$ es perfecto y totalmente desconectado, a continuación, $X$ es homeomórficos para el conjunto de Cantor. Converse: Si $X$ es homeomórficos para el conjunto de Cantor, a continuación, $X$ es un infinito compacto metrizable espacio y perfecto y totalmente desconectado.

Ahora aquí hay tres más llano ejemplos:

1. Si usted es un experto de la cantante, a continuación, si usted recibe cualquier canción se puede cantar bien. Converse: Si, siempre que se le de una canción, puede cantar bien, entonces usted es un experto de la cantante.

2. Si usted trabaja todos los días excepto los días festivos, a continuación, si no está trabajando en un día dado que el día es un día de fiesta. Converse: Si usted trabaja todos los días excepto los días festivos, entonces, si un día es un día de fiesta, a continuación, usted no trabaja en ese día.

3. Si alguien está en el Congreso de los Estados Unidos y no en el Senado, en la cámara de Representantes. Converse: si alguien está en la cámara de Representantes, que están en el Congreso de los Estados Unidos y no en el Senado.

Por cierto, aquí hay una cuarta opción:

• Urysohn del metrization teorema: Si $X$ es un segundo contables espacio topológico, entonces si $X$ es Hausdorff y regular, a continuación, $X$ es metrizable. "Converse:" Si $X$ es metrizable, a continuación, $X$ es Hausdorff y regular. Tenga en cuenta que este parcial "conversar" ignora el segundo countability; la "conversar" es $R \to Q$.