Preservación de los ideales en los anillos localizados

Question

Consulte la localización de los anillos en el Álgebra de Lang p. 108. En particular, deja $A$ ser un anillo conmutativo, $S$ un subconjunto de $A$ que es un submonoide de la estructura monoide multiplicativa de $A$ que contiene la identidad. Luego $S^{-1}A$ es el conjunto de elementos $ \frac {a}{s}$ con $a \in A$ y $s \in S$ . Tenemos $ \frac {a_1}{s_1}= \frac {a_2}{s_2}$ si existe $ \bar {s} \in S$ de tal manera que $ \bar {s}(s_2a_1 - s_1 a_2)=0$ . Ahora considera la inyección de $A$ en $S^{-1}A$ dado por $x \mapsto \frac {x}{1}$ . Esto es un homomorfismo de anillo. Dejemos que $J$ ser un ideal de $A$ . Los homomorfismos de anillo preservan los ideales y así la inyección de $J$ en $S^{-1}A$ llámalo $J^{*}$ será un ideal. Mi problema es que no veo por qué para cualquier $ \frac {a}{s} \in S^{-1}A$ y cualquier $ \frac {j}{1} \in J^{*}$ tendremos que $ \frac {aj}{s}$ estará en $J^{*}$ es decir, por qué debe existir un elemento $ \kappa \in J$ de tal manera que $ \frac {aj}{s}= \frac { \kappa }{1}$ .

Answer 1

Sólo una nota, ya que Chris ya ha aclarado las cosas. Cuando la gente habla de mover los ideales de $A$ a $S^{-1}A$ o, más generalmente, de $A$ a $B$ usando un homomorfismo $f \colon A \to B$ realmente quieren decir: tomar un ideal $ \mathfrak {a}$ de $A$ y formar el ideal $f( \mathfrak {a})B$ de $B$ es decir, el ideal de $B$ generada por el conjunto $f( \mathfrak {a})$ . Esto se llama el extensión del ideal y a veces es denotado por $ \mathfrak {a}^e$ o $S^{-1} \mathfrak {a}$ en el caso de la localización.

Para las localizaciones la historia de cómo se extienden (y contraen) los ideales es muy interesante. Véase la Propuesta 3.11 de Atiyah-Macdonald o la Proposición 6.4 de Las notas de Milne para una discusión de esto.

Answer 2

La afirmación es falsa: los homomorfismos de anillo no conservan los ideales. Por ejemplo, tomemos $A= \mathbb {Z}$ y $S= \mathbb {Z} \setminus \{ 0 \}$ para que $S^{-1}A = \mathbb {Q}$ . Luego $ \mathbb {Z}$ es, por supuesto, un ideal en sí mismo, pero su imagen no es un ideal de $ \mathbb {Q}$ .

Answer 3

Sólo los ideales primarios que están desarticulados de S tienen 1 a 1 corresponde con los ideales primarios en $S^{-1}A$ . No hay un mapa general entre los ideales. Por cierto, tengo el problema 3.