Huevos en una canasta (restos)

Question

Estoy trabajando en un problema: Una mujer tiene una cesta de huevos y deja a todos ellos. Todo lo que sabe es que cuando ella se pone en grupos de 2, 3, 4, 5, y 6, hay uno a la izquierda. Cuando ella pone en grupos de 7, no hay ninguno a la izquierda. ¿Cuál es el mínimo número de huevos que ella podría tener en su cesta?

Aquí es donde me he metido.

Dado que todos los 2, 3, 4, 5 y 6 tienen un resto de uno, el número debe ser un múltiplo de su lcm + 1. Así, sabemos que $$ x = 60t + 1. $$ So, I checked integer values of t and then found their remainder when divided by 7. The solution was when $t = 5, x = 301$. Lo que quiero saber es, hay una "mejor" manera de hacer esto? Y si es así, ¿cómo? Me encontré con el Teorema del Resto Chino, pero todo lo que vi no tenía mucho sentido para mí.

Gracias!

Answer 1

La primera mitad es un caso de constante optimización de CRT: $\ 2,3,4,5,6\mid x!-!1!\iff! 60\mid x!-!1,\,$ $\,{\rm lcm}(2,3,4,5,6)=60.\,$ tan $\, x = 1!+!60t.\,$más $\, x\equiv 0\pmod 7\ $ así, CRT

$\qquad\qquad\qquad! {\rm mod}\ 7!:\ 0 \equiv x \equiv 1!+!60\color{}t\equiv 1!-!3t\iff 3t\equiv1\equiv -6\iff \color{#c00}{t\equiv -2\equiv 5}$

Por lo tanto $\ \color{#c00}{t = 5!+!7n}\,$ así $\, x = 1!+!60\color{#c00}{\,t} = 1!+!60(\color{#c00}{5!+!7n}) = 301+420n$

Answer 2

Tienes %#% $ #%

Aplicando el Teorema chino del resto es simplemente encontrar $$x\equiv 1\pmod{60}\x\equiv 0\pmod{7}$ tal que $u,v$. Entonces la solución es %#% $ #%