Modales teoremas válidos en un modelo de teoría de conjuntos

Question

Esta es la pregunta que me gustaría discutir, adecuadamente indicado.

Dado un modelo de $M$ para una colección de la teoría de conjuntos de axiomas (ZFC, por ejemplo), la lista de todos los servicios básicos de modal fórmulas de $\phi$ tal que $M\Vdash \phi$ $\nVdash \phi$ (es decir, $\phi$ es válido en la base modal marco de $M$, e $\phi$ no es una fórmula válida en la clase de todos los servicios básicos de modal marcos).

He estado estudiando lógica modal por un tiempo ahora, aunque lentamente. Recientemente, me he encontrado con el concepto de marco de definability, que es acerca de la relación modal fórmulas para la clase de marcos son válidos. Ahora, nunca he tenido ningún entrenamiento formal en la Teoría de conjuntos, pero gracias a la internet, creo que una gran parte de ella consiste en exponer una colección de oraciones lógicas de tal manera que cualquier estructura con la firma de $(W,\in)$ dijo que los modelos de la colección se comporta mucho como sería de esperar, los conjuntos de comportarse.

Como resultado de esto, la estructura de la firma de $(W,\in)$ es precisamente el de la básica modal marcos, con los miembros de la relación de prestación de los servicios de interpretación para las $\Diamond$ modalidad. No puedo dejar de preguntarme si no hay ninguna manera para definir conjuntos utilizando la lógica modal, o si no, ¿cómo "cerrar" podemos llegar a ellos.

Por desgracia, no estoy seguro de si estas preguntas son apropiadas en un StackExchange sitio (demasiado vago). Así que por ahora me gustaría saber algo más sencillo. Sabemos que hay muchos modal fórmulas válidas en la clase de todos los marcos, que es el más pequeño de la normal de la lógica modal. Mi pregunta entonces es, ¿qué hace el conjunto de modal fórmulas válidas en un modelo de ZFC, o NF, parecen? Cuánto más grande que el más pequeño de la normal de la lógica modal es que el set?

Como seguimiento, tal vez yo podría preguntar (si no es pedir demasiado) si hay modal fórmulas que pueden distinguir entre los diferentes modelos de la misma teoría de conjuntos, que es, por ser válido en un modelo, pero no en otra.

EDIT: Esta pregunta la redacción anterior era más sencillo; todos los que me preguntaron fue si había un no-trivial (es decir, no es un miembro de los más pequeños normal de la lógica modal) válida de la fórmula modal o no. Resulta que hay un poco más fácil, $\Diamond \top$, ya que cada conjunto debe ser un miembro de otro conjunto (y, de hecho, el conjunto infinito que consta de $\{ \Diamond \top, \Diamond \Diamond \top, \Diamond \Diamond \Diamond \top, ... \}$ es válido).

Me voy a cambiar a una más difícil declaración (preguntando a definir toda la lógica generada por el modelo de conjunto), pero quizás aún más interesante sería preguntando si hay no trivialmente válido modal fórmulas para "conversar" teoría de conjuntos" $M=(W,\in_c)$ modelo, en el que $x\in_c y $ fib $y \in x$ (y, por supuesto, la elección de los axiomas tendría que ser modificado, con el fin de invertir los operandos en la $\in$ predicado). No sé qué hacer...

Answer 1

$(p\wedge\lozenge p\wedge\square q)\to \lozenge(p\wedge\lozenge q)$. Supongo que es en los modelos de ZFC. El significado intuitivo es 'si es un sistema en otro sistema, entonces pueden ser tanto en un tercer set'

Answer 2

Creo que cuando se habla acerca de los modelos de la teoría de conjuntos (considerado como modal marcos), la respuesta tendría que empezar con: Si ZFC es consistente, entonces ... Esto no puede ser relevante si usted está hablando acerca de los modales de fórmulas que son válidos en TODOS los fotogramas, pero si desea distinguir los modelos, entonces, creo, la consistencia de ZFC es que se asume.

En segundo lugar, tal vez no tan estrechamente relacionado con la pregunta original (pero teniendo en cuenta que la pregunta es vaga :) vas a encontrar un montón de interesante en la siguiente publicación:

Goivanna D'Agostino. Lógica Modal y no bien fundado de la Teoría de conjuntos: traducción, bisimulation y la interpolación. Tesis de doctorado, De 1999, del Instituto para la Lógica, el Lenguaje y la Computación, Amsterdam.

En el mismo, modal fórmulas son interpretados como usted quería - en conjuntos con $\ni$ relación (inversa de la membresía). Con dos diferencias: en primer lugar, en el conjunto subyacente de la teoría, en lugar de la Fundación axioma, él acepta Aczel del Anti-Fundación Axioma, AFA (ver, por ejemplo, la Wikipedia para su formulación); en segundo lugar, es natural considerar (y él se considera a) infinitary modal fórmulas (infinito conjunciones son permitidos en lugar de finito). En esta configuración, por ejemplo, conjuntos de modal fórmulas son en sí mismos conjuntos en el sentido de que este AFA teoría de conjuntos, y modal fórmulas son lo mismo. Así, modal fórmulas son conjuntos que pueden tener elementos (fórmulas) etc. Un dato intrigante es que cada conjunto, modulo bisimulation, es determinado por el (único) infinitary modal de la fórmula. Y así sucesivamente y así sucesivamente.