¿Cuál es la definición correcta del grupo de Picard de un anillo conmutativo?

Question

Esta es una pregunta técnica con ninguna en particular importancia en cualquier caso de real interés para mí, pero he estado escribiendo algunas notas sobre el álgebra conmutativa y agitándose en este punto durante algún tiempo ahora, así que bien podría preguntar aquí y que se haya aclarado.

Me gustaría definir el grupo de Picard de un arbitrario (es decir, no necesariamente Noetherian) conmutativa anillo de $R$. Aquí hay dos posibles definiciones:

(1) es el grupo de clases de isomorfismo de clasificar a una proyectiva $R$-los módulos de la producto tensor.

(2) es el grupo de clases de isomorfismo de invertible $R$-módulos en el producto tensor, donde invertible significa cualquiera de los siguientes equivalente cosas [Eisenbud, Thm. 11.6]:

a) La canónica mapa de $T: M \otimes_R \operatorname{Hom}_R(M,R) \rightarrow R$ es un isomorfismo.
b) $M$ es localmente libre de rango $1$ [editar: en el sentido más débil: $\forall \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R), \ M_{\mathfrak{p}} \cong R_{\mathfrak{p}}$.]
c) $M$ es isomorfo como un módulo de a es invertible fraccional ideal.

¿Cuál es la diferencia entre (1) y (2)? En general, (1) es más fuerte que el (2), porque módulos proyectivos son localmente libre, mientras que un finitely generados localmente libre módulo proyectivo iff es finitely presentado. (Al $R$ es Noetherian, finitely generado y finitely que se presentan son equivalentes, así que no hay problema en este caso. Esto hace que toda la discusión algo académico.)

Así que, a priori, si a un no-Noetherian anillo usado (1), se podría obtener un grupo de Picard de que era "demasiado pequeño". ¿Alguien sabe de un ejemplo real donde los grupos se formaron de esta manera no son isomorfos? (Eso es más fuerte que otra, un subgrupo de la otra, lo sé.)

¿Por qué es la definición (2) preferencia sobre la definición (1)?

Answer 1

Aunque esta pregunta ya ha sido contestada, me gustaría señalar que la afirmación se desprende también de un poco de la categoría de teoría (que no parece ser discutido en el Bourbaki de referencia).

Reclamo: Vamos a $R$ ser cualquier anillo conmutativo, y deje $M$ $R$- módulo que es invertible para el producto tensor. A continuación, $M$ es finitely generado y proyectivo.

Prueba: El functor de $R$-módulos de a $R$-módulos dada por tensoring con $M$ es una función de equivalencia. Desde que se proyectiva es un propiedad completamente interna a la categoría de la estructura, que se conserva en la auto-equivalencias. En particular, desde la $R$ es proyectiva, por lo que es $R \otimes_R M \simeq M$.

Del mismo modo, uno ve que $M$ es finitely presentado, debido a que el finitely presentó $R$-los módulos son exactamente los objetos compactos de la categoría.

(De manera más general: Dado cualquier monoidal simétrica categoría, si el objeto de la unidad satisface una categórica de la propiedad, y que lo hace cualquier invertible objeto. Esto es útil en otros contextos. Ejemplo: cualquier invertible objeto en el establo homotopy categoría tiene que ser un número finito de espectro, porque finito espectros son los objetos compactos; a partir de aquí no es muy difícil concluir que la invertible objetos en los espectros son las esferas.)

Answer 2

No hay ninguna diferencia. Si $M$ es localmente libre de rango finito, a continuación, $M$ es de finito de presentación (y proyectiva).

Tomar una partición de la unidad $f_1,...,f_n$, de tal manera que $M_{f_i}$ es gratuita a través de $R_{f_i}$. Desde $R \to R_{f_1} \oplus ... \oplus R_{f_n}$ es fielmente plano, basta para mostrar las propiedades de $M_{f_1} \oplus ... \oplus M_{f_n}$, que es muy fácil.

Definición de (2) es preferida porque revela la geometría contenido: clasificación de la línea de paquetes.

Answer 3

Para lo que vale, creo que en Bourbaki del Algèbre Conmutativa, este es el capítulo II, sección 5.4 (o así), pero no tengo una copia en frente de mí. (Pete confirma que la II.5.4, Teorema 3.)