Que muestra que una transformación lineal uno a uno los mapas un conjunto linealmente independiente en un conjunto linealmente independiente

Question

Problema 4.3.32 en Álgebra Lineal, los Laicos:

Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales, vamos a $T:V\to W$ ser una transformación lineal, y deje $\{\mathbf{v}_1, \dots , \mathbf{v}_p \}$ ser un subconjunto de a $V$.

Supongamos que $T$ es un uno-a-uno de la transformación [...]. Mostrar que si el conjunto de imágenes $\{T(\mathbf{v}_1), \dots ,T(\mathbf{v}_p)\}$ es linealmente dependiente, entonces $\{\mathbf{v}_1, \dots , \mathbf{v}_p \}$ es linealmente dependiente. Este hecho muestra que un uno-a-una transformación lineal asigna un conjunto linealmente independiente en un conjunto linealmente independiente.

Todo lo que tengo que hacer:

Si $\{T(\mathbf{v}_1), \dots ,T(\mathbf{v}_p)\}$ es linealmente dependiente, entonces no existe pesos $c_1, \dots, c_p$, no todos cero, por lo que el $$c_1 T(\mathbf{v}_1) + \cdots + c_p T(\mathbf{v}_p) = \mathbf{0}$$ Desde $T$ es lineal: $$c_1 T(\mathbf{v}_1) + \cdots + c_p T(\mathbf{v}_p) = T(c_1\mathbf{v}_1) + \cdots + T(c_p \mathbf{v}_p)=T(c_1 \mathbf{v}_1 +\cdots + c_p \mathbf{v}_p)=\mathbf{0}$$ Así que el conjunto $\{\mathbf{v}_1, \dots , \mathbf{v}_p \}$ debe ser linealmente dependiente.

Me estoy perdiendo algo? Y por qué debe $T$ on-a-uno para que esto sea cierto? Un ejemplo que muestra que no es cierto si $T$ no es uno-a-uno sería genial!

Answer 1

Un último paso que necesita mencionar en su argumento (y aquí es donde el supuesto de que el $T$ es uno a uno es necesario): ¿por qué implica que el $T(c_1 \mathbf{v}_1 +\cdots + c_p \mathbf{v}_p)=\mathbf{0}$ $c_1 \mathbf{v}_1 +\cdots + c_p \mathbf{v}_p=\mathbf{0}$?

Aquí es un contraejemplo donde $T$ no es uno a uno: que $V=\mathbb{R}^2$ y $W=\mathbb{R}$y $\mathbf{v}_1=(1,2)$ y $\mathbf{v}_2=(2,1)$. Que $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ sea la transformación lineal $T(a,b)=a$. $T(\mathbf{v_1})=1$ Y $T(\mathbf{v}_2)=2$ son linealmente dependientes en $\mathbb{R}$, porque (por ejemplo) $$2T(\mathbf{v_1})+(-1)T(\mathbf{v}_2)=2-2=0,$ $ pero aunque $$2T(\mathbf{v_1})+(-1)T(\mathbf{v}_2)=T(2\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)=0\in\mathbb{R}$ $, aún tienen que $2\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2=(2,4)-(2,1)=(0,3)\neq\mathbf{0}\in\mathbb{R}^2$.

Answer 2

En su último paso que utilizó implícitamente una propiedad implica de que $T(v) = 0 $ $v=0$, lo cual es cierto sólo si sabes que $T$ es inyectiva.