Monotonicidad y Derivados

Question

Es muy fácil ver que hay un montón de funciones $f$ para los que

$$ \frac{d^n}{dx^n} f(x) \geq 0 \;\;\;\forall n \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{R}_+$$

Para empezar, se cumple para cualquier polinomio con positivo o cero de los coeficientes. El más fuerte, con una desigualdad estricta

$$(1) \;\;\;\frac{d^n}{dx^n} f(x) > 0 \;\;\;\forall n \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{R}_+$$

sostiene que en menos casos. Sin embargo, las sumas de exponenciales de la forma

$$ \;\;\; f(x) = \sum_i A_i e^{B_i x} \;\;\; A_i, B_i > 0$$

satisfacer esta condición más fuerte. Pero hay otros

Mis preguntas son:

1) Sí (1) implican $O(f(x)) \geq O(\exp(x))$,

(en el sentido de $O(a(x)) >,=,< O(b(x))$ si $\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{a(x)}{b(x)} = \infty,\text{constant},0$, respectivamente)

2) hay una prueba sencilla para la (1), y/o, ¿ esta condición tiene un nombre establecido?

Answer 1

Considere la posibilidad de la expansión en series de Taylor de $f(x)$: $$ f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^{i}. $$ Si todos los coeficientes de $a_i$ son positivos y la serie converge para todos los $x \ge 0$, $f$ es toda una función y también es completamente monótona (en la que todos los derivados son positivos en el real positiva de la línea). Esto sigue siendo cierto en virtud de la ligeramente más débil condición de que todos los coeficientes son no negativos, e infinitamente muchos son positivos. El conjunto de funciones de este tipo es claramente cerrado bajo la multiplicación y la suma, también es cerrado bajo la multiplicación por polinomios con no negativo de los coeficientes, y como se señaló en los relacionados con la MathOverflow pregunta, es cerrado bajo la convolución. Así que las funciones como $\exp(\exp(x))$ $\exp(x^2 \exp(x))$ están incluidos. Tenga en cuenta que las funciones que estoy describiendo forma un subconjunto de los que se están preguntando acerca de... no puede ser completamente monótona de las funciones que no están completos.

Su primera pregunta es para saber si alguno completamente monótona de la función crece más lentamente que de manera exponencial. La respuesta es, sin duda, sí, y podemos lograr esta dejando el $a_i$ decaimiento más rápido que en cualquier exponencial (donde $a_i^{-1} \in O(i!)$). Por ejemplo, la función $$ \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{(i!)!} $$ crece mucho más lentamente de lo $e^{kx}$ positivos $k$.