Problema difícil límite entre seno y tangente

Question

Me encontré con el siguiente problema:

$$\lim_{x\to 0} \left(\frac 1{\sin^2 x} + \frac 1{\tan^2x} -\frac 2{x^2} \right)$$

He tratado de separar en dos límites (una con el seno y el otro con tangente) y regla de aplicada L'Hôpital, pero incluso tercer derivado no funciona.

También traté de simplificar un poco la expresión:

$$\frac 1{\sin^2 x} + \frac 1{\tan^2 x} = \frac{1+\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{ 1}{1-\cos x} + \frac 1{1+\cos x} -1$$

Pero no puedo hacerlo trabajar. Me gustaría respuestas con expansión de la serie. Gracias de antemano.

Answer 1

$$\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-\sin x}{x^3}\frac{x+\sin x}{x}\frac{x^2}{\sin^2x}\to\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 1$$

Ahora pruebe el resto de los términos.

Answer 2

Un enfoque alternativo que hace uso de la expansión de la serie pedía en los ingresos de la pregunta como sigue. $$\frac1{\sin^2x}+\frac1{\tan^2x}-\frac2{x^2}$ $ $$=\frac{1+\cos^2x}{\sin^2x}-\frac2{x^2}$ $ $$=\frac{2-\sin^2x}{\sin^2x}-\frac2{x^2}$ $ $$=\frac2{\sin^2x}-1-\frac2{x^2}$ $ $$=2\left(\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2}\right)-1$ $ La serie de Laurent de $\frac1{\sin^2x}$ alrededor cero es $$\frac1{x^2}+\frac13+\mathcal O(x^2)$ $ (ver e.g. aquí para la derivación). Por lo tanto $$\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2}=\frac13+\mathcal O(x^2)$ $ $$\lim{x\to0}\left(\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2}\right)=\frac13$ $ $$\lim{x\to0}\left(\frac1{\sin^2x}+\frac1{\tan^2x}-\frac2{x^2}\right)=\lim_{x\to0}\left(2\left(\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2}\right)-1\right)=2\cdot\frac13-1=-\frac13$ $

Answer 3

Desde $\sin x$ $\tan x$ son "casi iguales" a $x$, separando en una suma de dos límites parece un planteamiento interesante. El primer límite es $$ \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right)= \lim_{x\to0}\frac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x} $$ Encontrar una adecuada expansión de Taylor de que el numerador es fácil: $$ x^2-\sin^2x= (x-\sin x)(x+\sin x)= \Bigl(\frac{x^3}{6}+o(x^3)\Bigr)\bigl(2x+o(x)\bigr)=\frac{1}{3}x^4+o(x^4) $$

Para el segundo límite que usted incluso no necesita recordar la expansión de Taylor de la tangente (pero es más fácil si usted hace): $$ \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\bronceado^2x}-\frac{1}{x^2}\right)= \lim_{x\to0}\frac{x^2\cos^2x-\sin^2x}{x^2\sin^2x} $$ Ahora $$ (x\cos x-\sin x)(x\cos x+\sin x)= \Bigl(x-x\frac{x^2}{2}-x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\Bigr) \bigl(2x+o(x)\bigr)=-\frac{2}{3}x^4+o(x^4) $$ Por lo tanto el límite de $$ \frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3} $$