Determine si una función es lineal,$F: \mathbb{R^{2}} \rightarrow \mathbb{R^{2}}$

Question

Estoy leyendo sobre la linealidad en mi libro de texto de álgebra lineal y me parece que no puede encontrar un buen ejemplo de cómo resolver este problema:

Determinar si la siguiente función $F: \mathbb{R^{2}} \rightarrow \mathbb{R^{2}}$ es lineal: $$ F\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - y \\ x + y \end{pmatrix} $$

La respuesta en la parte de atrás del libro dice que la función es lineal. Sé que una función $F: V \rightarrow W$ es lineal si:

Dado $V$ $W$ son verdaderos espacios vectoriales y $c$ es un escalar $$ F[\vec{v} + \vec{w}] = F[\vec{v}] + F[\vec{w}] \quad\text{y}\quad F[c\vec{v}] = cF[\vec{v}] $$ Sin embargo, yo realmente no sé cómo aplicar estas reglas para el problema anterior, así que si alguien podría mostrarme cómo resolver este problema o me dirija a un ya resueltos ejemplo similar al mío, me sería de gran aprecio.

EDITAR - Para más detalles sobre donde estoy luchando: ¿Qué es $\vec{v}$ $\vec{w}$ en el problema original? A mí me parece como $\vec{v} = x - y$$\vec{w} = x + y$, pero no estoy seguro.

Answer 1

¡Todo lo que tiene que hacer es verificar si la función en sí misma cumple con las propiedades que ha otorgado! Puede confundirse con la notación utilizada. Considere$v,w \in \mathbb{R}^2$ Tenemos$$F(v + w) = F \begin{pmatrix}v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 - (v_2 + w_2) \\ v_1 + w_1 + (v_2 + w_2)\end{pmatrix}$ $

¿Puedes mostrar que lo anterior es equivalente a$$ F(v) + F(w) = F \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} + F \begin{pmatrix} w_1 \\ v_w \end{pmatrix} $ $

Answer 2

Sí lo es. Puedes ver eso porque el mapa está dado por una matriz, es decir

ps

aquí$$F(\vec{x})=M\vec{x},\qquad M=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ y$\vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ es la matriz$M\vec{x}$ multiplicada por la matriz$M$.

Pero entonces sabes que si eliges dos vectores$\vec{x}$ y cualquier constante$\vec{u},\vec{v}$ tienes$c$, por reglas de multiplicación de matrices, entonces

ps

es decir, la función es lineal.

Answer 3

Sí, encontraste tu verdadera pregunta:

¿Qué sería$\vec v$ y$\vec w$ en el problema original?

Bueno,$\vec v$ y$\vec w$ denotan vectores arbitrarios en el espacio vectorial dado. Ahora nuestro espacio vectorial es$\Bbb R^2$ y podemos dar nombres a las coordenadas de los vectores generales $\vec v$,$\vec w$, por ejemplo,$$\vec v=\pmatrix{x\\y}\quad\quad \vec w=\pmatrix{x'\\y'}$ $ o, por ejemplo,$$\vec v=\pmatrix{v_1\\v_2}\quad\quad \vec w=\pmatrix{w_1\\w_2}$ $ ( o algo).

Answer 4

La definición de linealidad es: $$F[\vec v + \vec w] = F[\vec v] + F[\vec w] \quad \text{ and } \quad F[c \vec v] = c F[\vec v]$$ Considere la posibilidad de que $\vec v$ $\vec w$ son objetos que $F$ opera. Así que usted debe preguntarse: ¿qué objetos no $F$ operar en tu ejemplo? Sigue esta regla?

Usted ha definido $F$ a operar sobre los elementos de la $\mathbb R^2$, por lo que son las $\vec v$ $\vec w$ en este ejemplo.

La comprobación de la primera propiedad de linealidad: $$\begin{align}F \left[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\right] & = F \left[ \begin{pmatrix} x + \alpha \\ y + \beta \end{pmatrix}\right] \\ &= \begin{pmatrix} x+ \alpha - y - \beta \\ x + \alpha + y + \beta \end{pmatrix}\end{align} $$ Y luego: $$F \left[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right] + F \left[\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} x - y \\ x + y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \alpha + \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + \alpha - y - \beta \\ x + \alpha + y + \beta \end{pmatrix}$$ Vemos que estas dos cosas son de hecho iguales, como la linealidad requiere. Comprobar que el otro la definición de la propiedad de linealidad es aún más simple.