Ejemplos demostrando por qué el producto tensor no distribuir más directa de productos?

Question

Recientemente he leído sobre el resultado de que el producto tensor distribuye en directo sumas. Estaba curioso por saber si también distribuye más directa de los productos, pero google me dice que no.

¿Cuáles son algunos de los contraejemplos de por qué esta propiedad no es cierto? Sé que no es natural homomorphism $$ \left(\prod M_i\right)\otimes N\a \prod (M_i\otimes N) $$ dado por $(\prod m_i)\otimes n\mapsto \prod (m_i\otimes n)$ al $M$ $N$ son los módulos a través de algunas anillo conmutativo $R$. Hay estándar de los ejemplos donde esto homomorphism no es inyectiva/surjective y por lo tanto no es un isomorfismo?

Answer 1

Consideramos $\mathbb{Z}$-módulos (es decir, abelian grupos).

Desde $\mathbb{Q}$ es divisible, si $A$ es una torsión de abelian grupo, a continuación, $A\otimes\mathbb{Q}$ es trivial.

Deje $G$ ser el producto directo de grupo cíclico de orden $p^n$, $p$ un primo, y $n$ aumento; que es: $$G = \prod_{n=1}^{\infty}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.$$

Entonces $$\prod_{n=1}^{\infty}\left(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Q}\right) = 0.$$

Pero $G\otimes\mathbb{Q}$ no es trivial: si dejamos $x$ a ser el elemento que corresponde a la clase de $1$ en cada coordenada, a continuación, $x$ tiene orden infinito. Por lo tanto, $$\langle x\rangle \otimes\mathbb{Q}\cong \mathbb{Z}\otimes\mathbb{Q} \cong\mathbb{Q};$$ pero tensoring con $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$ es exacta; por lo tanto, la incrustación $\langle x\rangle \hookrightarrow G$ induce una incrustación $\langle x\rangle\otimes G\hookrightarrow G\otimes \mathbb{Q}$. Por lo tanto, $G\otimes\mathbb{Q}\neq 0$. Por lo tanto, hemos $$\left(\prod_{n=1}^{\infty}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\right)\otimes \mathbb{Q}\not\cong \prod_{n=1}^{\infty}(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Q}).$$

Answer 2

Deje $X$ $Y$ ser indeterminates.

Para un ejemplo en el que el mapa no es surjective, tome $M_i:=R$ todos los $i\in\mathbb N$, e $N:=R[Y]$.

Luego de recibir el natural mapa $$ R[[X]][Y]\R[Y][[X]], $$ y $$ \sum_{i\in\mathbb N}\ X^i\ Y^i $$ no está en la imagen.

EDIT. Mismo ejemplo con notación diferente: Poner $$ A:=\left(\prod M_i\right)\otimes N,\quad B:=\prod\ (M_i\otimes N), $$ y, para todos los $i,j\in\mathbb N$, $$ M_i=R_i=R_j=R_{ij}=R. $$ También $N:=\bigoplus R_j$. Entonces tenemos canónica isomorphisms $$ A=\bigoplus_j\ \prod_i\ R_{ij},\quad B=\prod_i\ \bigoplus_j\ R_{ij}. $$ También tenemos las inclusiones $$ Un\subconjunto de B\subconjunto\prod_{i,j}\ R_{ij}, $$ y el mapa se convierte en la primera inclusión.

Tenga en cuenta que el símbolo de Kronecker $(\delta_{ij})$$B$, pero no en $A$.