¿Qué es $n!$ cuando $n=0$?

Question

Posibles Duplicados:
Demostrar $0! = 1$ a partir de primeros principios
Por qué no 0! = 1?

Si estoy en lo correcto, el factorial de $!$ significa que:

$$n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots n $$

así:

$$ \begin{align} 5!&=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120\\ 4!&=1\cdot2\cdot3\cdot4=24\\ 3!&=1\cdot2\cdot3=6\\ 2!&=1\cdot2=2\\ 1!&=1 \end{align} $$

Pero, ¿qué es $n!$ al $n=0$?

No puede ser indefinido, y no puede ser $n!=0$, ya que los que son ilegales en el conocido ecuaciones como:

$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$

Entonces, ¿qué es?

Answer 1

$0! = 1$ es consistente con, y por razones relacionadas con, cómo definimos el vacío del producto. Ver esta entrada en vacío del producto.

Vacío del producto:

El vacío producto de los números es el caso límite de un producto, donde el número de factores es cero, es decir, el conjunto de los factores que está vacía. En una "frontera", el vacío producto de los números es igual a la multiplicación de identidad número, $1.$

Algunos de los ejemplos más comunes son los siguientes:

• El cero de la potencia de un número x: $x^0 = 1$
  
• El factorial de $0: 0! = 1$
  
• El principal factor de presentación de la unidad, que no tiene factores primos

Como ${n^0 = 1}$ cualquier $n$, podemos definir, como una convención, $0!$$1$.

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Observación adicional:

$$e^x = 1 + \frac {x} {1!} + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^3} {3!} + ... = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} \etiqueta{1}$$

Pero la siguiente es una definición más concisa: $$e^x = \frac {x^0} {0!} + \frac {x^1} {1!} + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^3} {3!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\la etiqueta{2}$$

$(1)$ $(2)$ son iguales si y sólo si $$\;\;\displaystyle e^0 = \frac{x^0}{0!} = \frac {1}{0!} = 1 \iff 0! = 1.$$

Answer 2

Convencionalmente se define como el $0! = 1$. Esto coincide con el función gamma del $\Gamma(1) = (n-1)! = 1$.

Answer 3

Sabemos que $\binom n r=\frac{n\cdot(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{r! (n-r)!}$---> el número de maneras que podemos elegir elementos de $r$ $n$ elementos.

Si $r=n,$ podemos tomar $n$% #% elementos #% elementos en $n$ manera.

Así, $\frac{n\cdot(n-1)\cdots (n-n+1)}{n!}=1$

Del mismo modo, si $1=\frac{n!}{n! (n-n)!}=\frac 1{0!}\implies 0!=1$ si $r>n, \binom n r=\frac{n\cdot(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}=0\implies \frac1 {(n-r)!}=0 \implies \frac 1{s!}=0$

Answer 4

El número de maneras para permutar un conjunto de $n$ objetos es $n!$ (incluyendo la identidad de permutación). Tu pregunta puede ser interpretada de la siguiente manera: ¿de cuántas maneras distintas se puede permutar los elementos del conjunto vacío? Dado que la pregunta puede ser visto como mal formado, uno responde por convencionalmente definir el número de $1$. Es decir, $0! = 1$. Compare esto a computar el número de mapas a partir de un conjunto de $m$ elementos de un conjunto de $n$ elementos, $n^{m}$, en el caso de que ambos conjuntos están vacías. De nuevo, $0^{0} = 1$.

Answer 5

$0!=1$.

Razón 1: $(n-1)!=\dfrac{n!}n$, que $0!= \frac{1!}1$.

Razón 2: $n!$ es el número de bijections de un conjunto de cardinalidad $n$. El único conjunto de cardinalidad $n$ es el conjunto vacío, el número de funciones del sistema de vacío para el conjunto vacío es 1.

Razón 3: $n! = \int_0^{\infty} x^ne^{-x}dx$. El valor de $n=0$ es 1 (y en realidad se utiliza como base de la prueba de inducción).