Ejercicio de Rolfsen, teorema del acorde

Question

He aquí un problema de Rolfsen de Nudos y Enlaces que me ha rascándome la cabeza:

Mostrar que siempre hay un contraejemplo a la "acorde teorema de la" si $n$ no es un número entero. [Sugerencia: En el intento de dibujar un contraejemplo, trata de sostener dos lápices a la vez.]"

Aquí está el "acorde teorema": Si $C$ es un segmento de recta de longitud $|C|$ con extremos en una ruta conectada subespacio $X \subset \mathbb{R}^2$, entonces para cada a $n \in \mathbb{Z}_{>0}$ hay un segmento de recta paralelo a $C$ de la longitud de la $|C|/n$.

Todas las sugerencias serán bienvenidos.

Mis pensamientos: yo no puedo averiguar cómo hacer el "lápiz" sugerencia de trabajo. Actualmente estoy tratando de demostrar que si $\alpha \in \mathbb{R}_{>0}$ no es de la forma $1/n$, entonces existe una función continua $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ tal que $f(0)=f(1)=0$ $f(x) \neq f(x-\alpha)$ todos los $x \in [\alpha,1]$. A continuación, la gráfica de esta función será un "contraejemplo".

Actualización: Con la ayuda de todos los comentarios de abajo, he conseguido la mayor parte del camino a una respuesta, publicado a continuación.

Answer 1

Gracias a los comentarios acerca de Rolfsen del "lápiz" sugerencia, he tenido un poco de suerte el dibujo de una especie de "onda sinusoidal modificada". Para los valores de $\alpha$ que no son de la forma $2/n$, se puede utilizar $f(x)=\sin(2\pi x/\alpha)- x \sin(2\pi/\alpha)$, se ve a continuación para $\alpha\approx .37$. Ahora sólo necesito para cubrir el caso de $2/n$ $n$ impar. He aquí cómo sabemos que funciona para$\alpha \neq 2/n$$n \in \mathbb{Z}$:

Supongamos $f(x)=f(x-\alpha)$. Entonces tenemos \begin{align} \sin\left(\frac{2\pi x}{\alpha}\right)-x \sin\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) &= \sin\left(\frac{ 2\pi(x-\alpha)}{\alpha}\right)-(x-\alpha)\sin\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) \\ &= \sin\left(\frac{ 2\pi x}{\alpha}\right)-x\sin\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)+\alpha\sin\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right). \\ \end{align} De ello se desprende que $\alpha \sin(2\pi/\alpha)=0$, por lo tanto $2\pi/\alpha = n \pi$ e lo $\alpha=2/n$$n \in \mathbb{Z}$.